CHO BA SỐ A, B, C KHỎC KHỤNG THOẢ MÓN ĐỒNG THỜI A . B ¿ . C<...
5) Cho ba số a, b, c khỏc khụng thoả món đồng thời
a . b ¿ . c< 0
ab+ bc+ ca> 0
1
bc + 1
ca >0
ab + 1
¿ { {
¿
Chứng minh rằng cả ba số đều õm.
GIẢI
ĐK: x 3
Đặt a 3 x b ; 4 x c ; 5 x
Ta cú x 3 a
2 4 b
2 5 c
2 ab bc ca
23 ( )( ) 3
a ab bc ca a b a c
4 ( )( ) 4
b ab bc ca b c a b
( )( ) 5
a c b c
5
c ab bc ca
Do đú
Nhõn vế với vế cỏc phương trỡnh ta được ( a b a c b c )( )( ) 2 15(*)
Thay lần lượt cỏc phương trỡnh của hệ vào phương trỡnh (*) sẽ cú:
2 15 2 15
a b a b
5 5
2 15 2 15 7 15 671
b c b c a x
3 3 60 240
2 15 9 15
a c a b c
4 2 10
Do a > 0 nờn a
2
x
2
+ ( a
2
+b
2
−c
2
) x+ b
2
=0 (1) là bpt bậc 2. Ta cú:
a
2
+b
2
− c
2
¿
2
− 4 a
2
b
2
=− (a+b +c ) (a+ b − c )(a+ c − b)(b+ c − a)<0
Δ=¿
Vỡ (a+b+c)>0, (a+b-c)>0, (a+c-b)>0, (b+c-a)>0
vậy bpt (1) nghiệm đỳng với mọi x thuộc R.
a .b .c ¿ <0(1)
ab+bc+ ca>0(2)
ca >0(3)
Từ (1) suy ra a,b,c cú một số õm.Giả sử a<0, bc >0
b+c ¿
2