CHOΑ∈(0,2Π), S >0. XÉT SỰ HỘI TỤ CỦA HAI CHUỖI∞∞SINNΑCOSNΑXXNS ,...
8. Cho
α
∈
(0,
2π),
s >
0. Xét sự hội tụ của hai chuỗi
∞
sin
nα
cos
nα
X
n
s
,
n
s
1
Trước tiên chứng minh: có
M >
0
sao cho
n
≤
M,
∀n
≤
M,
cos
kα
sin
kα
0
Do
e
ikα
= cos
kα
+
i
sin
kα,
∀k
∈
N
, ta có:
e
ikα
=
1
−
e
i(n+1)α
1
−
e
iα
=
(1
−
cos(n
+ 1)α)
−
i
sin(n
+ 1)α
(1
−
cos
α)
−
i
sin
α
=
[(1
−
cos(n
+ 1)α)
−
i
sin(n
+ 1)α][(1
−
cos
α) +
i
sin
α]
(1
−
cos
α)
2
+ sin
2
α
Đồng nhất phần thực và ảo
[1
−
cos(n
+ 1)α](1
−
cos
α) + sin
α.
sin(n
+ 1)α
=
(1
−
cos
α)
2
+ sin
2
α
≤
5
[1
−
cos(n
+ 1)α] sin
α
+ (1
−
cos
α).
sin(n
+ 1)α
(1
−
cos
α)
2
+ sin
2
α
≤
4
Vậy điều khẳng định được chứng minh.
a
n
b
n
với lần lượt
b
n
= cos
nα,
b
n
= sin
nα
và
a
n
=
1
Do hai chuỗi đã cho có dạng
n
s
,
(a
n
)
n
là dãy giảm,
lim
n→∞
a
n
= 0
và có hằng số
C
≥
0
thỏa mãn:
≤
C,
≤
C,
∀n
Vậy chuỗi
n
s
hội tụ.
(−1)
n
ln
α
n