CHO HÌNH NÓN ( )N CÓ ĐỈNH S, ĐÁY LÀ ĐƯỜNG TRÒN TÂM...

Câu 44. Cho hình nón

( )

N có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm I , đường sinh l=3a và chiều cao 5SI a= . Gọi H là điểm thay đổi trên đoạn SI. Mặt phẳng

( )

^α vuông góc với SI tại H, cắt hình nón theo giao tuyến là đường tròn

( )

C . Khối nón đỉnh I, đáy là đường tròn

( )

C có thể tích lớn nhất bằng πa _. πa _{. B.} 5 5

³

πa _{. D.} 16 5

³

πa _{. C.} 8 5

³

A. 32 5

³

81Lời giải Gọi SA là 1 đường sinh của hình nón đỉnh S. SA cắt mp

( )

α tại B. Theo đề bài, ta có SI a= 5;SA=3a⇒IA= SA SI

²

−

²

= 9a

²

−5a

²

=2a. Đặt ^{IH x=}

(

^{0< <x 5a}

)

^{, ta có SH SI IH= − = 5a x− .} HB SH HB a x HB a x− −= ⇒ = ⇒ =Vì HB IA// , áp dụng định lý Talet: 5 ^{2 5}

( )

IA SI a a2 5 5Do đó thể tích khối nón có đỉnh I là: ^{V =1}₃^{π.HB IH}

²

^{. =1}₃^{π.4 5}

(

^{a x}₅⁻

)

²

^.x=4₁₅^{π x}

(

^{5a x−}

)

²

Áp dụng BĐT AM-GM: 2 .2 . 5 5 2 2 5 5 2 2 5 16 5x a x a x a a

( )( )

³

³

³

V π x a x a x π ^ + − + − ^ π ^{ }= − − ≤   =   =15 15 3 15 3 81   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 5 5 5x= a x− ⇔ =x a⇔IH = a. 3 3