(2,0 ĐIỂM) A) TÌM TẤT CẢ CÁC CẶP SỐ NGUYÊN ( ; )X Y THỎA MÃN...

Bài 3. (2,0 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; )

x y

thỏa mãn

x

²

2y

²

2xy2x4y 6 0

.





p

p

là lập phương của một số tự nhiên.

b) Tìm tất cả các số nguyên tố

p

sao cho

²

1

2

Bài giải

a) Ta có:









 

2

2

x

y

xy

x

y

2

2

2

4

6 0

   

2

2

2





 













x

y

xy

x

y

y

y

1 2

2

2

6

9

4



 







x y

y

(

1)

(

3)

4



 





 



(

1)

4

(

1)

0

  





















x y

x y

x y

y

y

Vì ,

ho?c

(

3)

0

(

3)

4



 













 x

x y

x

x







(

1)

4

(

4)

4

6

Trường hợp:











 



 

(

3)

0

3

3

y

y

y

hoặc

23y

^.











 

x

y

1

6

 







x y

x

(

1)

0











hoặc

2

5

5

y

y









 



1

(

3)

4



 



1

  

2

1

3

p p

b) Ta có:

a

với

a0

. Khi đó:

2



 



 



 

2

1

3

(

1) 2(

1)

2

1 .

p

p

a

p p

a

a

a

Vì ưcln ( ;

p p

 

1) 1

nên (

p p



1)

chia hết cho

 

(

a

 

1)

p

chia hết cho (

a



1)

hoặc

p



1

chia hết cho (

a



1)

.

 





k

k



 









- Xét : (

p a

  

1)

p k a

(



1)

. Mà

p

là số nguyên tố suy ra:

1

1

1 1

0

a

a

.



Với

a

  

0

p

2

.

Nếu

^k

^{    }

¹

^{p a}

¹

^{a a}

⁽

^{ }

^{1) 2(}

^a

^

¹⁾



^a

²

^{ }

^a

¹



, vô nghiệm.

Xét

p



1: (

a

  

1)

p m a

(

 

1) 1

. Khi đó ta có:



²

 

²



(



1)



2(



1)

  

1



2

 

1 .

m a

p

a

a

a

mp

a

a

Ta có:

a

²

  a 1 a a(  1) 1

là một số lẽ.

Suy ra: ưcln



^2;

^a

²

^{  }

^a

¹



¹

^.

Nên

²



^a

²

^{ }

^a

^{1 :}



^m

^

^{2 :}

^m

^hoặc



^a

²

^{ }

^a

^{1 :}



^m

^.

 m m  

Nếu

12 : 2m

^.

Với

^k

^{ }

¹

²



^a

²

^{    }

^a

¹



^a

²

²

^a

²

^

³

^a

^{  }

⁰

^a

⁰

Với

k 2 a

²

  a 1 2(a  1) 1 a

²

3a 1 0

, vô nghiệm.

Nếu

a

²

 

a

1:

m



a

²

  

a

1

mn

. Khi đó ta có: (

m a

  

1) 1 2

n

.

Mặt khác

p m a



(

  

1) 1 2

n

là số nguyên tố suy ra

p



2,

n

  

1

a

0

.

Tóm lại

p



2

là số nguyên tố cần tìm.