(5.0 ĐIỂM).A) BIẾT A ; B LÀ CÁC SỐ NGUYÊN DƯƠNG THỎA MÃNA2 A B C...

Bài 2 (5.0 điểm).a) Biết a ; b là các số nguyên dương thỏa mãna

²

a b C b

²

chia hết cho 9 ;chứngminh rằng cảavà b đều chia hết cho 3 :b) Tìm tất cả các số nguyên dương nsao cho 9

ⁿ

C 1 1là tích của k . k 2 N; k 2 /số tự nhiên liên tiếp.Lời giải. a) Từ giả thiết, ta suy ra4 . a

²

a b C b

²

/ D . 2 a b /

²

C 3 b

²

chia hết cho 9 :Do 3 b

²

chia hết cho3 nên . 2 a b /

²

chia hết cho3 ; suy ra 2 a b chia hết cho 3 :Từ đó,ta có . 2 a b /

²

chia hết hết cho9 : Suy ra3 b

²

chia hết cho 9 ;do đó b

²

chia hết cho 3 ;tứcb chia hết cho 3 :Mà2 a b chia hết cho3nên ta cũng có achia hết cho3 :Vậy cả hai số avà b đều chia hết cho 3 :b)Để ý rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp luôn có ít nhất một số chia hết cho 3 ;mà 9

ⁿ

C 1 1không chia hết cho 3nên9

ⁿ

C1 1không thể là tích củak 3số tự nhiên liên tiếp. Từ đó, theoyêu cầu của đề bài, ta suy ra9

ⁿ

C 1 1là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.Đặt 9

ⁿ

C1 1 D a . aC 1 / vớia 2 N

thì ta cóa . a C 1 / 2 0(do 9

ⁿ

9), suy ra a 4 :Từ đây, ta cóa . a C1 / 1 1 D . a 2 /

²

C5 . a 3 / > . a 2 /

²

: . 1 /Mặt khác, ta cũng cóa . a C1 / 1 1 < a . a C 1 / < . a C 1 /

²

: . 2 /Do a . a C 1 / 1 1 D 9

ⁿ

D . 3

ⁿ

/

²

là số chính phương nên kết hợp với các đánh giá (1) và(2), ta suy raa . a C 1 / 1 1 2 ˚. a 1 /

²

; a

²

:Bằng cách xét các trường hợp cụ thể, ta tìmđượca 2 f4 ; 1 1g:Thử lại, ta thấy chỉ có a D 4 (tương ứng,n D 1) thỏa mãn yêu cầu. Vậycó duy nhất một giá trị nthỏa mãn yêu cầu đề bài làn D 1 :Bình luận. Ở câub), sau khi nhận xét được 9

ⁿ

C 1 1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, tacũng có thể nhân4 hai vế để tách bình phương và viết thành tích thừa số để hoàn tất lời giải.