(1,0 ĐIỂM) CHO TAM GIÁC ABC CĨ ĐƯỜNG PHÂN GIÁC NGỒI CỦA GĨC A...
Câu 6. (1,0 điểm)
Cho tam giác
ABC
cĩ đường phân giác ngồi của gĩc
A
cắt đường thẳng
BC
tại điểm
D
.
Gọi
M
là trung điểm của
BC
. Đường trịn ngoại tiếp
ADM
cắt các đường thẳng
AB
,
AC
lần
lượt tại
E
và
F
(với
E
,
F
khác
A
). Gọi
N
là trung điểm của
EF
. Chứng minh rằng
MN
//
AD
.
Lời giải
Dựng hình bình hành
BPCF
.
Hai đường chéo
BC
và
PF
cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà
M
là trung điểm của
BC
(gt)
M
cũng là trung điểm của
PF
.
Xét
PEF
, ta cĩ
N
là trung điểm của
EF
(gt),
M
là trung điểm của
PF
(cmt)
MN
là đường trung bình của
PEF
MN
E
P
(1)
Ta cĩ:
MPB MFA
(cặp gĩc so le trong của
PB FA
,
PBFC
là hình bình hành)
Mà
MDA MEA MFA
(các gĩc nội tiếp cùng chắn cung
AM
)
MEA MPB
, nghĩa là
MEB MPB
Xét tứ giác
BMEP
, ta cĩ
MEB MPB
(cmt)
Tứ giác
BMEP
nội tiếp (tứ giác cĩ hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các gĩc bằng nhau)
BEP
BMP
(hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung
BP
)
Mà
BMP FMD
(đối đỉnh)
Mặt khác
FMD FAD
(hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung
FD
)
BEP FAD
, nghĩa là
AEP FAD
(2)
Ta cĩ:
AD
là phân giác ngồi của
BAC
(gt)
Mà
BAC CAE
180
(kề bù)
AD
là phân giác của
CAE
FAD
EAD
(3)
Từ (2) và (3), ta suy ra
AEP EAD
Mà 2 gĩc nằm ở vị trí so le trong nên
EP AD
(4)
Từ (1) và (4), ta suy ra
MN AD
(đpcm).
__________ THCS.TOANMATH.com __________