CHO HÌNH LẬP PHƯƠNG, MỖI CẶP ĐỈNH CỦA NÓ XÁC ĐỊNH MỘT ĐƯỜNG THẲNG. TR...

Câu 49: Cho hình lập phương, mỗi cặp đỉnh của nó xác định một đường thẳng. Trong các đường thẳng đó, tìm số các cặp đường thẳng (không tính thứ tự) không đồng phẳng và không vuông góc với nhau. A.

96.

B.

192.

C.

108.

D. 132. Lời giải – Chọn A Ta chia các đường thẳng này thành 3 loại: Loại 1: Các đường thẳng chứa các cạnh của các mặt (Ví dụ: AB, AD, AA’…) Loại 2: Các đường thẳng chứa các đường chéo của các mặt (Ví dụ: AC, AB’, AD’…) Loại 3: Các đường thẳng không nằm nằm trong các mặt (là 4 đường thẳng: AC’, BD’, CA’, DB’) Nhận xét:  2 đường thẳng cùng thuộc loại 1 thì hoặc song song với nhau, hoặc vuông góc với nhau nên chúng hoặc đồng phẳng, hoặc vuông góc với nhau.  2 đường thẳng thuộc loại 2 không đồng phẳng cũng không vuông góc thì chúng thuộc 2 mặt kề nhau (ví dụ AC và DC’). Cứ 2 mặt kề nhau ta lại tạo ra được 2 cặp đường thẳng như vậy (Ví dụ mặt ABCD và DCC’D’ có 2 cặp đường thẳng thỏa mãn là (AC, DC’) và (BD, CD’)). Mỗi cạnh thuộc loại 1 đều tạo ra 2 mặt kề nhau, do đó có

12.2

=

24

cặp đường thẳng cùng thuộc loại 2 thỏa mãn.  2 đường thẳng thuộc loại 3 đều đi qua trung điểm của mỗi đường nên chúng đồng phẳng.  Mỗi đường thẳng thuộc loại 1 (chẳng hạn AD) có thể tạo với 4 đường thẳng thuộc loại 2 đểtạo thành 1 cặp đường thẳng không song song cũng không vuông góc (Đó là các đường chéo của các mặt chứa cạnh B’C’). Do đó có

^12.4

=

⁴⁸

cặp đường thẳng thuộc dạng này thỏa mãn.  Mỗi đường thẳng thuộc loại 1 (chẳng hạn AD) có thể tạo với 2 đường thẳng thuộc loại 3 đểtạo thành 1 cặp đường thẳng không song song cũng không vuông góc (BD’ và CA’). Do đó có

12.2

=

24

vặp đường thẳng thuộc dạng này thỏa mãn.  Vì AC vuôn góc với mặt phẳng BDD’B’ nên các cặp đường thẳng có cả loại 2 và 3 hoặc vuông góc với nhau, hoặc đồng phẳng. Vậy có tất cả

24

+

48 24

+

=

96

cặp đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề bài.