CÂU 44. CHO 𝑓(𝑥) CÓ ĐẠO HÀM CẤP 2 TRÊN 𝑅 VÀ THỎA MÃN (𝑓...
5
. B.
62
Lời giải
Ta có (𝑓′′(𝑥)𝑓(𝑥) + (𝑓′(𝑥))
2
+ 2(𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥))
2
) e
𝑓
2
(𝑥)−2𝑥
2
−2𝑥−1
= 4(2𝑥
2
+ 2𝑥 + 1)
⇔ (𝑓′′(𝑥)𝑓(𝑥) + (𝑓′(𝑥))
2
+ 2(𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥))
2
) e
𝑓
2
(𝑥)
= 4(2𝑥
2
+ 2𝑥 + 1)e
2𝑥
2
+2𝑥+1
⇔ (𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥)e
𝑓
2
(𝑥)
)
′
= ((2𝑥 + 1)e
2𝑥
2
+2𝑥+1
)
′
⇒ 𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥)e
𝑓
2
(𝑥)
= (2𝑥 + 1)e
2𝑥
2
+2𝑥+1
+
𝐶
1
.
Mà theo giả thiết có𝑓(0) = 1, 𝑓′(0) = 1 nên có e = e + 𝐶
1
⇔ 𝐶
1
= 0.
Do đó 𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥)e
𝑓
2
(𝑥)
= (2𝑥 + 1)e
2𝑥
2
+2𝑥+1
⇔ 2𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥)e
𝑓
2
(𝑥)
= 2(2𝑥 + 1)e
2𝑥
2
+2𝑥+1
⇔ (e
𝑓
2
(𝑥)
)
′
= (e
2𝑥
2
+2𝑥+1
)
′
⇒ e
𝑓
2
(𝑥)
= e
2𝑥
2
+2𝑥+1
+ 𝐶
2
.
Mà theo giả thiết có 𝑓(0) = 1 ⇒ e = e + 𝐶
2
⇔ 𝐶
2
= 0.
Do đó 𝑓
2
(𝑥) = 2𝑥
2
+ 2𝑥 + 1 ⇔ 𝑓(𝑥) = √2𝑥
2
+ 2𝑥 + 1.
Nên có 𝐼 = ∫ (2𝑥 + 1)𝑓(𝑥)
0
3
d𝑥 = ∫ (2𝑥 + 1)√2𝑥
0
3
2
+ 2𝑥 + 1 d𝑥 =
1
2
∫ (2𝑥
0
3
2
+ 2𝑥 +
3
2
Bạn đang xem 5 . - Đáp án đề ôn tập số 01 THPT môn Toán năm 2020 50 câu trắc nghiệm
