( 3,5 ĐIỂM ) MỘT HỌC SINH VIẾT DÃY SỐ SAU
Bài 5 ( 3,5 điểm )
Một học sinh viết dãy số sau: 49, 4489, 444889, 44448889, . . . (Số đứng sau đợc viết
48 vào giữa số đứng trớc). Chứng minh rằng tất cả các số viết theo quy luật trên đều
là số chính phơng.
HD
Cách 1 (lớp 8)
Đặt 11...1 = a thì 10
n= 9a + 1.
n/cs1
Dãy số đã cho có số hạng tổng quát nh sau:
H = 44...4 88...89
n/cs4 n-1/cs8
Ta còn viết đợc H = 44...4 88...8 + 1 = 4a.10
n+ 8a + 1.
n/cs4 n/cs8
= 4a(9a + 1) + 8a + 1 = 36a
2+ 12a + 1 = (6a + 1)
2= (66...67)
2n-1/cs6
Là số chính phơng ==> điều phải chứng minh.
Cách 2( lớp 6)
Ta cú 44 … 488 … 89 = 44 … 488..8 + 1 = 44 … 4 . 10
n+ 8 . 11 … 1 + 1
n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1n
− 1
n
−1
= 4. 10
9 + 1
9 . 10
n+ 8. 10
2
n
− 4 . 10
n
+8 .10
n
− 8+9
+ 4 . 10
n
+1
= 4 . 10
9 = 4 . 10
9
2
= ( 2. 10 3
n
+1 )Ta thấy 2.10
n +1=200…01 cú tổng cỏc chữ số chia hết cho 3 nờn
n-1 chữ số 0 nú chia hết cho 3.
⇒ ( 2. 10 3
n