CÓ BAO NHIÊU GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA 𝑚 THUỘC ĐOẠN [0; 18] ĐỂ PHƯƠN...

Câu 43. Có bao nhiêu giá trị nguyên của 𝑚 thuộc đoạn [0; 18] để phương trình (𝑥 − 2)log

₄

(𝑥 − 𝑚) =

𝑥 − 1 có đúng một nghiệm dương?

A. 16. B. 19. C. 17. D. 18.

Lời giải

Bài yêu cầu 𝑚 ∈ [0; 18] và 𝑥 > 0, khi đó 𝑥 + 𝑚 > 0. Xét 𝑥 = 2 không phải nghiệm của

phương trình nên với 𝑥 ≠ 2 ta có:

(𝑥 − 2)log

₄

(𝑥 + 𝑚) = 𝑥 − 1 ⇔ log

₄

(𝑥 + 𝑚) = 𝑥 − 1

𝑥 − 2

⇔ 𝑥 + 𝑚 = 4

^𝑥−1

^𝑥−2

⇔ 𝑚 = 4

^𝑥−1

^𝑥−2

− 𝑥 (1)

Đặt 𝑓(𝑥) = 4

^𝑥−1

^𝑥−2

− 𝑥, ta chỉ quan tâm nghiệm dương nên xét 𝑓(𝑥) trên (0; +∞)\{2}.

Ta có 𝑓′(𝑥) = 4

^𝑥−1

^𝑥−2

.

⁽⁻¹⁾

(𝑥−2)

²

. ln4 − 1 < 0, ∀𝑥 ∈ (0; +∞)\{2}.

Bảng biến thiên của 𝑓(𝑥)

-∞

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có đúng một nghiệm dương khi 𝑚 ≥ 2 hoặc

𝑚 ≤ −2.

Do 𝑚 nguyên thuộc đoạn [0; 18] nên tập các giá trị của 𝑚 là {2; 3; 4; . . . ; 18}, có 17 giá trị.

Chọn C