BÀI 10 CHO HÌNH TRỤ CÓ HAI ĐƯỜNG TRÒN ĐÁY LÀ ( ; O R ) VÀ ( O R '...

Question

2. Đối với hình chóp đều tâm mặt cầu nội tiếp của hình chóp thuộc đường cao hình chóp. Ví dụ 1.3.5  Cho tứ diện  ABCD  có   AB CD,BC AD,AC BD = = =  . Chứng minh rằng tâm mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện  ABCD  cũng là tâm mặt cầu nội tiếp của tứ diện đó.Lời giải. Gọi  O  là tâm mặt cầu ngoại tiếp Acủa tứ diện  ABCD , ta có = = =OA OB OC OD . Gọi O ,O ,O ,O lần lượt là hình 1 2 3 4chiếu vuông góc của  O  lên các mặt phẳng  ( BCD ) , ( ACD , ABD , ABC   ) ( ) ( )  thì O O43 O2O ,O ,O ,O lần lượt là tâm ODđường tròn ngoại tiếp của các tam Bgiác này. O1Các tam giác BCD,ACD,ABD,ABC  bằng nhau (c.c.c) nên các bán kính CR ,R ,R ,R  của  đường tròn ngoại tiếp các tam giác này bằng nhau. Các tam giác vuông   OO B,OO A,OO A,OO B1 2 3 4  cho        OO21 = OB2− R ,OO21 22 = OA2− R ,OO22 23= OA2− R ,OO23 24= OB2 − R24Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí  OO1= OO2 = OO3= OO4 O  là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện  ABCD . Ví dụ 2.3.5  Cho hình chóp tứ giác đều  S.ABCD  có cạnh đáy bằng  a , đường  cao SO a =  ( O  là tâm của hình vuông  ABCD ) . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp  S.ABCD .Gọi  E,F  lần lượt là trung điểm Scủa  BC,AB  . Trong tam giác vuông  SOE , đường phân giác trong của góc  SEO  cắt  SO  tại I , ta chứng minh  I  là tâm mặt H1cầu nội tiếp hình chóp H2S.ABCD . IGọi  H ,H1 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của  I  lên SE,SF .O EF ⊥BC SO( ) ⊥  ⊥ ⊥BC SOE BC IH1BC OE  ⊥  =IH SE( ) ( ( ) )IH SBC IH d I, SBC1 1IH BCTương tự  IH2 = d I, SAB ( ( ) )  . Hai tam giác vuông  SOE  và  SOF  có  SO  chung ,  OE OF =  nên chúng bằng nhau  suy ra hai đoạn tương ứng  IH ,IH1 2 bằng nhau . Chứng minh tương tự ta có  I  cách đều 4 mặt bên của hình chóp đã cho. Mặt khác I thuộc đường phân giác trong của  SEO  IO IH = 1. Vậy  I  cách đều tất cả các mặt của hình chóp  SABCD  mà  I  ở trong hình chóp do đó  I  là tâm mặt cầu nội tiếp của hình chóp  S.ABCD . Áp dụng tính chất của chân đường phân giác ta có  IO OE IO OE IO OE=  =  =+ + +IS SE IO IS OE SE SO OE SE2a aSO.OE a. 2 2 a = = = =IO .( )OE SE a a a 1 5 1 52 2+ +2 a 4 2Vậy bán kính của mặt cầu nội tiếp hình chóp  S.ABCD  là r a= +1 5 . Ví dụ 3.3.5  Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng  a   và  ASB =  .