THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
2. Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 2,0 điểm ) :
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Biết A’(0;0;0) ,
B’(a;0;0),D’(0;a;0) , A(0;0;a) với a>0 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và B’C’ .
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với hai đường thẳng AN và BD’ ..
b. Tính gĩc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD’ .
Câu V.b ( 1,0 điểm ) :
Tìm các hệ số a,b sao cho parabol (P) :
y 2x
=
2
+
ax b
+
tiếp xúc với hypebol (H) :
y
=
1
x
Tại điểm
M(1;1)
HƯỚNG DẪN
I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 3,0 điểm )
a) 2đ
x
−∞
1
+∞
y′
+
+
1
−
y
+∞
−∞
1
−
b) 1đ
Ta cĩ : y = mx
−
4
−
2m
⇔
m(x 2) 4 y 0 (*)
− − − =
x 2 0
x 2
Hệ thức (*) đúng với mọi m
⇔
− − =
− =
⇔
=
= −
4 y 0
y
4
Đường thẳng y = mx
−
4
−
2m luơn đi qua
điểm cố định A(2;
−
4) thuộc (C)
=
+
y
1 x
( Vì tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình
x 2
−
)
Câu II ( 3,0 điểm )
a) 1đ Điều kiện : x > 1 .
pt
⇔
log (2
−
1).[1 log (2
+
−
1)] 12 0 (1)
−
=
2
x
2
x
t log (2
=
−
1)
thì
(1)
⇔
t
2
+ −
t 12 0
= ⇔ = ∨ = −
t 3 t
4
Đặt :
2
x
x
x
⇔
− = ⇔
= ⇔ =
t = 3
log (2
1) 3
2
9
x log 9
2
®
2
17
17
− ⇔
− = − ⇔
=
⇔ =
t = 4
log (2
1)
4
2
16
x log2
16
2
b) 1đ Đặt
t 2 sin x
= +
⇒ =
dt cosxdx
⇒
− ⇒ =
π
x = 0
t = 2 , x =
t 1
2
2(t 2)
2
1
2
2
1
2
1
2
4
−
=
−
=
+
=
− =
∫ ∫ ∫
I =
dt 2 dt 4
dt 2 ln t
4
ln 4 2 ln
2
t
2
1
t
2
t
t
1
e
1
1
1
c) 1đ Đường thẳng (d)
5x 4y 4 0
y
5
x 1
−
+ = ⇔ =
4
+
Gọi
∆
là tiếp tuyến cần tìm , vì
∆
song song với (d) nên tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc k =
5
4
Do đĩ :
( ) : y
5
x b
∆
=
4
+
- 2 -
x
2
3x 1 5 x b (1)
−
+
=
+
x 2
4
−
≠
−
−
+
=
x 2 :
x
2
4x 5 5 (2)
∆
là tiếp tuyến của ( C )
⇔
hệ sau cĩ nghiệm
2
4
(x 2)
(2)
x
2
4x 0
x 0 x 4
⇔
−
= ⇔ = ∨ =
1
5
1
x = 0
(1)
b
2
tt( ) : y
1
4
x
2
→ = − ⇒ ∆
=
−
5
5
5
x = 4
(1)
b
2
tt( ) : y
2
4
x
2
Câu III ( 1,0 điểm )
Ta cĩ :
V
V
S.MBC
S.ABC
=
SM 2
SA 3
= ⇒
V
S.MBC
=
2
3
.V
S.ABC
(1)
2
1
V
M.ABC
=
V
S.ABC
−
V
S.MBC
=
V
S.ABC
−
3
.V
S.ABC
=
3
.V
S.ABC
(2)
Từ (1) , (2) suy ra :
V
M.SBC
V
S.MBC 2
V
M.ABC
=
V
M.ABC
=
II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )