CHO NỬA ĐƯỜNG TRÒN TÂM O ĐƯỜNG KÍNH AB. TỪ ĐIỂM M TRÊN TIẾP TUYẾ...

Bài 4 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ điểm M trên tiếp tuyến Ax

của nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C là tiếp điểm). Hạ CH vuông góc với AB,

đường thẳng MB cắt nửa đường tròn (O) tại Q và cắt CH tại N. Gọi giao điểm của MO

và AC là I. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AMQI nội tiếp. b)

^{ }AQI ACO

. c) CN = NH.

(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 của sở GD&ĐT Tỉnh BắcNinh)

BÀI GIẢI CHI TIẾT

x

a) Chứng minh tứ giác AMQI nội tiếp:

M

Ta có: MA = MC (tính chất hai tếp tuyến cắt nhau)

OA = OC (bán kính đường tròn (O))

Q

C

I

N

Do đó: MO



AC

MIA^90

⁰

.

A

B

H

O

 90

⁰

AQB

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

K

MQA 

. Hai đỉnh I và Q cùng nhìn AM dưới

Hình 5

Trang chủ:

https://traloihay.net

| Email hỗ trợ: [email protected] | Hotline:

024 2242 6188

một góc vuông nên tứ giác AMQI nội tiếp được

trong một đường tròn.

b) Chứng minh:

^{ }AQI ACO

.

Tứ giác AMQI nội tiếp nên

^{ }AQI AMI Hình 6

(cùng phụ

MAC^

) (2).

AOC

có OA = OC nên cân ở O.

CAO ACO^{ }

(3). Từ (1), (2) và (3) suy ra

 AQI ACO

.

c) Chứng minh CN = NH.

Gọi K là giao điểm của BC và tia Ax. Ta có:

^ACB90

⁰

(góc nội tiếp chắn nửa

đường tròn(O)). AC

^

BK , AC

^

OM

^

OM // BK. Tam giác ABK có: OA = OB,

OM // BK

^

MA = MK.

Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho

ABM

có NH // AM (cùng

^

AB) ta được:

NH BNAM  BM

(4). Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho

BKM

có CN // KM (cùng



AB) ta được:

^{CN BN}AM KM

. Mà KM = AM nên CN

KM  BM

(5). Từ (4) và (5) suy ra:

^{NH CN}

= NH (đpcm).

Lời bàn

1. Câu 1 hình vẽ gợi cho ta suy nghĩ: Cần chứng minh hai đỉnh Q và I cùng nhìn

AM dưới một góc vuông. Góc AQM vuông có ngay do kề bù với ACB vuông, góc MIA

vuông được suy từ tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.

2. Câu 2 được suy từ câu 1, dễ dàng thấy ngay

^{ }AQI AMI

,

^{ }ACO CAO

, vấn đề lại

là cần chỉ ra

IMA^ CAO

, điều này không khó phải không các em?

3. Do CH // MA , mà đề toán yêu cầu chứng minh CN = NH ta nghĩ ngay việc

kéo dài BC cắt Ax tại K bài toán trở về bài toán quen thuộc: Cho tam giác ABC, M

là trung điểm BC. Kẻ đường thẳng d // BC cắt AB, AC và AM lần lượt tại E, D và I.

Chứng minh IE = ID. Nhớ được các bài toán có liên quan đến một phần của bài thi ta qui

về bài toán đó thì giải quyết đề thi một cách dễ dàng.