CÓ BAO NHIÊU SỐ PHỨC Z THỎA MÃN Z2 =2 Z Z+ +4 VÀ Z− − =1 I Z−...
Câu 42. Có bao nhiêu số phức
z
thỏa mãn
z
2
=
2
z z
+
+
4
và
z
− − =
1
i
z
− +
3 3
i
?
A. 4.
B. 3.
C. 1.
D. 2.
Chọn B:Đặt
z a bi a b
=
+
, ,
(∈
ℝ
).
( )2
( )2
( )2
( )2
1
3 3
1
1
3
3
2
4
z
− − =
i
z
− +
i
⇔
a
−
+
b
−
=
a
−
+
b
+
⇔
a
=
b
+
(1)
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
16
16
z
=
z z
+
+
⇔
a
+
b
=
a
+
⇔
a
+
b
=
a
+
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
4
a
2
+
(a
−
4
)2
=
16
a
+
16
⇔
5
a
2
−
8
a
=
16
a
≥
=
0
0
a
a
−
=
2
5
24
0
24
.
⇔
<
+
=
⇔
=
= −
0
5
5
8
0
8
a
a
a
5
Với
a
=
0
,
b
= −
2
⇒
z
= −
2
i
.
Với
24
b
=
⇒
z
=
+
i
.
a
=
5
,
2
24 2
5
5
5
Với
8
b
= −
⇒
z
= − −
i
.
a
= −
5
,
14
8 14
Vậy có tất cả 3 số phức
z
thỏa mãn.
Cách 2:
Giả sử
z
= +
x yi
,
x y
,
∈
ℝ
và
M
là điểm biểu diễn cho số phức
z
trong mặt phẳng phức
.
Oxy
Theo đề ta có:
+
=
+
2
2
4
4
4
4 0 (1)
x
y
x
x
y
x
=
+
+
+
−
− =
2
2
2
z z
z
2 |
| 4
⇔
⇔
2
4 0 (2)
x
y
2
2
2
2
|
1
| |
3 3 |
(
1)
(
1)
(
3)
(
3)
z
i
z
i
x
y
x
y
−
− =
− − =
− +
−
+
−
=
−
+
+
y
(C
2
)
(C
1
)
O
2
1
-2
x
d
Tập hợp các điểm
M
thỏa (1) là hình gồm 2 cung tròn
( )
C
1
và
( )
C
2
như hình vẽ.
Vì d có 3 điểm chung với hình gồm hai cung tròn cung tròn
( )
C
1
và
( )
C
2
nên có 3 số phức
thỏa đề.