2 8V = = (ĐVTT). IHJBGỌI I LÀ TÂM CỦA TAM GIÁC ABC , SUY RA G...

4 . 2 8

V = = (đvtt).

^IHJB

Gọi I là tâm của tam giác ABC , suy ra GI / / AA '  GI ⊥ ( ABC )

Gọi J là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC suy ra J là giao điểm của

GI với đường trung trực đoạn GA ; M là trung điểm GA , nên có:

.

2

7

GM GA GA a

=  = = = = .

. .

GM GA GJ GI R GI

GI GI

2 12

Ví dụ 2..3 Cho lăng trụ đứng ABC A B C . ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông,

AB = BC = a , cạnh bên AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC .

Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC A B C . ' ' ' và khoảng cách giữa

hai đường thẳng AM , B C '

Lời giải.

Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông cân tại B.

Thể tích khối lăng trụ là:

A'B'

' . 2

3

V = AA S = a (đvtt).

. ' ' 'ABC A B C ABC

2

C'

Gọi E là trung điểm của BB ' .

E

Khi đó mặt phẳng ( AME ) / / B C ' nên

( ^{, '} ) ( ^{' , ( )} ) ( ^{, ( )} )

d AM B C = d B C AM E = d C AM E .

B A

Nhận thấy ^{d C AM E} ( ^{, ( )} ) ^{= d B AM E} ( ^{, ( )} ) ^{= h}

Do tứ diện BAM E có BA BM BE , , đôi một

MC

1 1 1 1 7 7

h a

= + + =  =

vuông góc nên:

2 2 2 2 2

7

h BA BM BE a

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

a .

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B C ' là ⁷

Ví dụ 3.3 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C . ' ' ' có BB ' = a , góc giữa

đường thẳng BB ' và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60

⁰

; tam giác ABC vuông tại

C và BAC = 60

⁰

. Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên mặt phẳng

( ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính thể tích khối tứ diện

' .

A ABC theo a.

Gọi D là trung điểm AC ,

G là trong tâm  ABC

 ⊥  =

' ( ) ' 60

0

B G ABC B BG

B G BB B BG a

' ' . si n ' 3

 = = ;

2

3

a a

BG =  BD = .

A B

2 4

GD

AB AB AB

Trong  ABC , ta có: ³ ,

BC = AC =  CD =

2 2 4

2 2 2

AB AB a

2 2 2

3 9

BC + CD = BD  + =

4 16 16

3 13 3 13 9

2

3

a a a

 = = =

AB AC S

_

, ;

13 26

^ABC

104

Thể tích khối tứ diện A ABC ' . :

1 9

V = V = B G S

_

= a .

3 ' . 208

' 'A ABC B ABC ABC

Ví dụ 4.3 Cho lăng trụ ABC A B C . ' ' ' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy

ABC là tam giác vuông tại A , AB = a AC , = a 3 và hình chiếu vuông

góc của đỉnh A ' trên mặt phẳng ( ^ABC ) là trung điểm của cạnh BC . Tính

theo a thể tích khối chóp A ABC ' . và tính cosin của góc giữa hai đường

thẳng AA ', ' B C '

Gọi H là trung điểm BC  A H ' ⊥ ( ABC ) và

1 1

2 2

2 2 3

AH = BC = a + a = a

2 2 2 2

= − =

' ' 3

A H A A AH a

 A H ' = a 3

V = A H S

_

= a

1 ' .

' .A ABC ABC

3 3

A

(đvtt).

Trong tam giác vuông A B H ' '

có:

' ' ' ' 2

H B = A B + A H = a nên tam giác B BH ' cân tại B ' .

Đặt  là góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C' thì:  = B BH ' . Vậy

cos 1

a