(3,0 ĐIỂM) CHO  ABC VUÔNG TẠI A AB AC    VÀ ĐƯỜNG CAO AH...

Bài 6. (3,0 điểm) Cho  ABC vuông tại ^{A AB AC}  ^  và đường cao AH . Từ H kẻ

 

; ; .

HE  AB HF  AC E AB F   AC

a/ Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

b/ Gọi D là điểm đối xứng A của qua F . Chứng minh DHEF là hình bình hành.

c/ Gọi I là giao điểm của EF và AH ; M là trung điểm của BC . Qua A kẻ tia Ax vuông góc

với đường thẳng MI cắt tia CB tại K . Chứng minh , , , K E I F thẳng hàng.

Lời giải

a/ Ta có EAF   90

vuông tại A

 ⁹⁰

 

HEA  HE  AB

HFA  HF  AC

Vậy AEHF là hình chữ nhật

Nên FE AH , cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường

Và HE FA / /

Do đó , , E F I thẳng hàng (1)

b/ FD  FA (vì đối xứng qua )

HE  FA (vì AEHF là hình chữ nhật)

Nên HE  FD

Mà HE FD / / (vì HE FA / / )

Vậy DHEF là hình bình hành

c/ Xét  AKM có 2 đường cao MI AH , cắt nhau tại I nên I là trực tâm

Do đó KI là đường cao còn lại. Vậy KI  AM (a)

Gọi L là giao điểm của EI và AM

Vì AEHF là hình chữ nhật nên I là trung điểm của EF và AH

AH FE

Nên ,

IA  IE 

2 2

Mà AH  FE

  IAE cân tại I    IEA IAE 

AM  BC  MC

Lại có  ABC vuông tại A ,trung tuyến ứng với cạnh huyền là AM nên

2

  MAC cân tại M  MAC    ACB

Mà ^{IAE ABH}   ^{  90}

 ^{ ABH } 

  ⁹⁰

 

ACB ABH    ABC 

 

 

ACB IAE

MAC IEA

Mà

 

MAC MAE

90

  

IEA MAE

Vậy  ALE vuông tại L  EI  AM (b)

Từ (a) và (b) suy ta , , K E I thẳng hàng(2)

Từ (1) và (2) suy ra , , , K E I F thẳng hàng