TÌM SỐ PHỨC Z BIẾT RẰNG Z = I−( I)1 2 1 2− + 2A. Z=10+35I13 26 B. Z= 8...

1). HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. I). KIẾN THỨC CẦN NHỚ a). Hệ tọa độ trong không gian. Hệ gồm ba trục Ox Oy Oz đôi một vuông góc , , với các vectơ đơn vị tương ứng là i j k được gọi là , , hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian Oxyz . Điểm O được gọi là gốc tọa độ. Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuôing góc gọi là các mặt phẳng tọa độ. b). Tọa độ của vectơ và của điểm.

(

^{; ;}

)

u= x y z ⇔ =u xi+y j+zk. ^{M x y z}

(

^{; ;}

)

^{⇔OM =xi+y j+zk.} Nếu A x

(

A

^{; ;}y

A

z

A

)

^vµ B x

(

B

^{; ;}y z

B

B

)

thì AB=

(

x

B

−x

A

^;y

B

−y

A

^;z

B

−z

A

)

. Đặc biệt: x x y y z z M là trung điểm của AB ; ;= 

A

B

A

B

A

B

M⇔  + + + 2 2 2  . y y yz z zx x x G là trọng tâm tam giác ABC ⇔

A

B

C

= ; =z + +x + +y + +

G

3c). Vectơ bằng nhau. Tọa độ của vectơ tổng, vectơ hiệu: Cho u x y z

(

1

; ;

1

1

)

vµ v x y z

(

2

; ;

2

2

)

. Khi đó:  =x x

1

2

; ;i= ⇔ =+ = + + +u v x x y y z z

1

2

1

2

1

2

u v y y.

( )

( )

 =ku kx ky kz

1

1

1

z zd). Hai vectơ cùng phương: x y zHai vectơ u x y z

(

1

; ;

1

1

)

vµ v x y z

(

2

; ;

2

2

)

,

(

^v≠0

)

cùng phương ⇔ ∃ ∈k ℝ: u=k v. hay

¹

¹

¹

x = y = z .

2

2

2

e). TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ .

( )

^{1 2}

^{1 2}

^{1 2}

. . . os ,u v= u v c u v =x x +y y +z z . u = u

²

= x

₁

²

+y

₁

²

+z

₁

²

. + +x x y y z z

( )

₂

^{1 2}

₂

₂

^{1 2}

₂

^{1 2}

₂

₂

os , .c u v. u⊥ ⇔v x x

_{1 2}

+y y

_{1 2}

+z z

_{1 2}

=0+ + + +x y z x y z

1

1

1

2

2

2

f). TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ.: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u x y z

(

1

; ;

1

1

)

và v x y z

(

2

; ;

2

2

)

. Tích có hướng của hai vectơ u vµ v là một véctơ , kí hiệu là u v,  , được xác định bởi:   = = − − −

1

1

1

1

1

1

, y z ;z x ;x y ; ;u v y z y z z x z x x y x y 

1 2

2 1

1 2

2 1

1 2

2 1

y z z x x y 

2

2

2

2

2

2

Tính chất : Véctơ u v,   cùng vuông góc với cả hai vectơ u vµ v g). CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH CÓ HƯỚNG. (NC) S = AB AC . oDiện tích tam giác ABC: 1 ,

ABC

2o Thể tích tứ diện: 1 , .6V

ABCD

= AB AC AD . o Diện tích hình bình hành ABCD : S

_ABCD

= AB AD, o Thể tích khối hộp: V

ABCD A B C D

_{. ' ' ' '}

= AB AC AD, . ^. h). MẶT CẦU. • Mặt cầu tâm ^{I a b c}

(

^{; ;}

)

, bán kính R có phương trình là:

(

^x−a

)

²

⁺

(

^y−b

)

²

⁺

(

^z−c

)

²

^=R

²

^. • Phương trình : x

²

+y

²

+z

²

−2ax−2by−2cz+d =0, với a

²

+b

²

+c

²

>d, là p/trình của mặt cầu có tâm ^{I a b c}

(

^{; ;}

)

và b/kính R= a

²

+b

²

+c

²

−d. II). CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1 : XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM , VECTƠ VÀ ĐỘ DÀI CỦA VT. Phương pháp: Sử dụng các công thức :

(

B

A

^;

B

A

^;

B

A

)

AB= x −x y −y z −z AB =

(

x

B

−x

A

)

²

+

(

y

B

−y

A

)

²

+

(

z

B

−z

A

)

²

(

1

2

;

1

2

;

1

2

)

u± =v x ±x y ±y z ±z ku=

(

kx ky kz

1

;

1

;

1

)

, ∀ ∈k R. Ví dụ 1: Cho ba véctơ : ^a

(

^{0; 2;7 ,−}

)

^b

(

^{1; 3; 1 ,− −}

)

^c

(

^1;3;9

)

. Tính tọa độ của các véctơ sau. a). u= −a b. b). v=2a b+ −3c. c). w= − +a b 3cVí dụ 2. Trong không gian cho ba điểm ^A

(

^{−1;0;3 ;}

)

^B

(

^{2;1; 3 ;−}

)

^C

(

^1;2;2

)

^. a).Tính tọa độ và độ dài của các véctơ AB AC BC; ; . b).Tính tọa độ trung điểm các cạnh cúa tam giác ABC. c).Tính tọa độ trọng tâm của tam giác ABC. d).Cho ^{M x}

(

^;3;z

)

.Tìm x , z để ba điểm B, C, M thẳng hàng . e).Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. *h).Tìm N thuộc mp(Oxy) sao cho NA + NB nhỏ nhất . Ví dụ 3: Trong không gian cho hai điểm ^A

(

^{2; 1;7 ;−}

)

^B

(

^{4;5; 2−}

)

^. a).Cho điểm M thỏa hệ thức MA=2.MB. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AM . b).Đường thẳng AB cắt mp(Oyz) tại điểm G . Tìm số k sao cho GA=k GB. . Tìm tọa độ của G . DẠNG 2 : TÍCH VÔ HƯỚNG , TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG. Phương pháp :Sử dụng các công thức : Với u x y z

(

1

; ;

1

1

)

và v x y z

(

2

; ;

2

2

)

 = . . .cos ,, y z ; z x ;x yu v= u v u v =x x +y y +z z

¹

¹

¹

¹

¹

¹

u v y z z x x y    =, . .sin ,u v u v u v  ^{. u vµ} v cùng phương khi và chỉ khi u v, =0. Ví dụ 1 : Cho ba vectơ ^u

(

^{−2;3;0 ,}

)

^v

(

^{0;2; 3 ,−}

)

^w

(

^{7;1; 2}

)

^{. Tính .} a). u v. ; ^{u v.}

(

^+w

)

^{b). u+v c).Góc}

( )

^{u v; ;}

( )

^{v w;}d). u v;   ; v u;   . e). u w v; .Ví dụ 2. Trong không gian cho 3 điểm ^A

(

^{− −1; 2;0 ;}

)

^B

(

^{1;0; 3 ;−}

)

^C

(

^{− − −2; 1; 1}

)

^. a).Tìm tọa độ điểm D thuộc trục Ox sao cho AD ⊥ AC. b). Tìm tọa độ điểm E thuộc trục Oz sao cho góc giữa 2 vectơ AE ; AB bằng 60

⁰

c). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Ox sao cho M cách đều hai điểm A; B . *e). Tìm tọa độ điểm F thuộc trục Ox sao cho ACF là t.giác có diện tích bằng 2. Ví dụ 3. Trong k/g cho 4 điểm ^A

(

^{− −1; 2;0 ;}

)

^B

(

^{1;0; 2 ;−}

)

^C

(

^{− − −2; 1; 3 ;}

)

^D

(

^−2;0;0

)

^. a).Chứng minh : A, B , C tạo thành một tam giác .Tính diện tích tam giác ABC . b).Chứng minh : ABCD là một tứ diện .Tính thể tích của tứ diện ABCD . c). Tìm điểm K thuộc trục Oz sao cho 4 điểm A, B, C, K đồng phẳng . DẠNG 3 : LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU Phương pháp 1:(Áp dụng cho dạng toán dễ tìm tâm và bán kính) Tìm tâm ^{I a b c}

(

^{; ;}

)

và bán kinh R của mặt cầu Khi đó, mặt cầu có phương trình là :

(

^x−a

)

²

⁺

(

^y−b

)

²

⁺

(

^z−c

)

²

^=R

²

^. Phương pháp 2: Giả sử mặt cầu có phương trình : x

²

+y

²

+z

²

−2Ax−2By−2Cz+D=0. Khi đó, dựa vào giả thiết tìm các hệ số A, B, C và D . Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau. a).Đi qua ^M

(

^{1; 2;1−}

)

và có tâm ^I

(

^{2; 3;1−}

)

^. b).Có tâm ^I

(

^{2; 1; 5− −}

)

và có đương kính bằng 8 . c).Có đường kính là AB biết ^A

(

^{1; 2;3 ;−}

)

^B

(

^−5;3;5

)

^. d). Đi qua hai điểm ^C

(

^{− − −2; 1; 1 ;}

)

^D

(

^{1;0; 3−}

)

và có tâm thuộc trục Ox. *h). Có tâm O và tiếp xúc với mặt cầu :

( ) (

^{S : x−3}

)

²

⁺

(

^y+2

)

²

⁺

(

^z−6

)

²

^=1. Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC , biết

(

^{1;0;0 ;}

) (

^{0;2;0 ;}

) (

^{0;0; 4}

)

A − B C − . Ví dụ 3: Xác định tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau : a).x

²

+y

²

+z

²

+6x+2y−4z− =1 0 . b). x

²

+y

²

+z

²

+2x−4y− =4 0c).2x

²

+2y

²

+2z

²

+8x−4y−12z−100 0= . Ví dụ 4 : Chứng minh phương trình 2x

²

+2y

²

+2z

²

−4x+12z+ =2 0 là phương trình của một mặt cầu. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. PHẦN TRẮC NGHIỆM.