CHO HÌNH CHÓP S.ABCD CÓ ĐÁY ABCD LÀ HÌNH BÌNH HÀNH. GỌI M, N L...

Câu 47.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

các cạnh

AB, BC. Điểm

I

thuộc

SA. Biết mặt phẳng

(MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai

phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng

⁷

13

lần phần còn lại. Tính tỉ số

k

^IA

=

IS

?

A.

¹

3

4

D.

¹

3

C.

³

2

B.

²

Hướng dẫn giải

(VDC)- Khái niệm về thể tích khối đa diện

Cách giải:

Đặt

^SI

^x

(

⁰

^x

^{1 .}

)

SA

=

 

Trong (ABCD) kéo dài MN cắt AD, CD lần lượt tại P, Q.

Trong (SAD) kéo dài PI cắt SD tại E.

Trong (SCD) nối QE cắt SC tại J.

Khi đó (IMN) cắt hình chóp theo thiết diện là IMNJE.

Mặt phẳng (IMN) chia khối chóp thành hai phần, gọi

V

₁

là phần thể tích chứa đỉnh S và

V

=

V

.

S ABCD

V

Khi đó ta có:

¹

⁷

.

20

V

=

Ta có:

V

₁

=

V

_{S BMN}

_.

+

V

_{S MNI}

_.

+

V

_{S INJ}

_.

+

V

_IJE

.

V

S

BM BN

V

S BMN

BMN

+)

^.

¹

.

.

¹

_.

.

V

=

S

=

BA BC

= 

V

=

S BMN

2

8

8

ABCD

V

SI

S MNI

+)

^.

_.

_.

x

V

xV

S MNI

S MNA

V

=

SA

= 

=

S MNA

1

V

S

S

V

x

V

1

1

ABN

2



=

S MNA

MNA

V

V

S MNI

8

8

8

V

=

S

=

S

= 

=

_.

.

ABCD

ABCD

V

SI SJ

+)

^.

S INJ

.

V

=

SA SC

S ANC

(

) (

)



=





IMN

SAC

IJ







=

lại có MN // AC (do MN là đường trung bình của tam giác

Ta có:

IMN

ABCD

MN

,

SAC

ABCD

AC



ABC)





=

=

^.

²

_.

²

_.



=

=



=

S INJ

IJ

MN

x

.

.

/ /

SI

SJ

.

x

V

x V

S INJ

S ANC

SA

SC

V

SA SC

ABC

V

x

V

2

1

.

S ANC

ANC

4

V

=

S

=

ABCD

=

_.

²

.

S INJ

4

V

SI SJ SE

SE

S IJE

+)

^.

²

V

=

SA SC SD

=

x

SD

.

.

.

S ACD



= 



=

=

Dễ dàng chứng minh được

(

^{. .}

)

¹

^.

BMN

CQN g c g

BM

CQ

2

CD

3

3

1

.

AM

PA



=

=



=

=

DQ

CQ

AM

DQ

PD

Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác SAD ta có:

(

)

= 

= 

=

−

+

−

1

3 1

PA ED IS

ED

x

ED

x

3 2

ED

ES

x

SE

x



=



=

.

.

1

.

.

1

−

3

1

ES

x

SD

x

PD ES IA

ES

x

ES

x

V

SE

x

x



=

=

=

2

2

x

x

−

−

3 2

3 2

V

SD

x

x

1

.

V

V

V

x

V

Mà

S ACD

S IJE

2

6 4

=



=

x

Khi đó ta có:





2

3

V

x

x

x

x

x

x

=





+ +

+

−





x

V

V

V

V

V

=

V

+

V

+

V

+

V

²

³

1

S BMN

.

S MNI

.

S INJ

.

S IJE

.

= +

+

+

x

8

8

4

6 4

1

7

8

8

4

6 4

20

 + +

+

x

=

Thử đáp án:

IA

SI

=

=  =

= 

Loại

Đáp án A:

¹

²

k

x

IS

SA

Đáp án B:

²

³

k

=

IS

= 

SA

= 

Thỏa mãn.

3

5

Chọn

B.