(2,0 ĐIỂM) CHO TAM GIÁC ABC VUƠNG TẠI A VỚI (AB AC ),...
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho tam giác
ABC
vuơng tại
A
với (
AB AC
), cĩ đường cao
AH
. Biết
BC
1dm
và
12
dm
AH
25
.
a)
Tính độ dài hai cạnh
AB
và
AC
b)
Kẻ
HD
AB
;
HE
AC
(với
D AB
,
E AC
). Gọi
I
là trung điểm của
BC
. Chứng
minh
IA DE
.
Lời giải
a) Tính độ dài hai cạnh
AB
và
AC
Áp dụng hệ thức lượng và định lý Pytago cho
ABC
vuơng tại
A
, ta cĩ:
2
2
2
2
2
AB
AB
1
1
AC
BC
AC
12
144
2
2
AB AC
AH BC
AB AC
.
.
.
25
625
Khi đĩ,
AB
2
và
AC
2
là các nghiệm dương của phương trình.
Áp dụng hệ quả của định lý Vi-et, ta được
2
144
X
X
1
2
6 5
0
Ta cĩ:
2
144
49
625 6 5
0
1
4.1.
2
nên phương trình trên cĩ 2 nghiệm phân biệt:
1
49
625
9
625
16
và
2
X
1
2.1
25
2
25
Theo giả thiết,
AB AC
, nên ta được:
16
4
2
25
5
B
AC
A
9
3
X
C
Vậy
4
5
dm
AB
và
3
AC
.
b) Chứng minh
IA DE
.
Gọi
F
là giao điểm của
AI
và
DE
.
HE
90
HEA
AC
H
HDA
AB
D
Xét tứ giác
EHDA
, ta cĩ:
90
vuông tại A
AE
ABC
Tứ giác
EHDA
là hình chữ nhật (tứ giác cĩ 3 gĩc vuơng)
Tứ giác
EHDA
là tứ giác nội tiếp.
ADE
AHE
(hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung
AE
)
Mà
AHE
ECH
(cùng phụ với
CHE
)
A
(1)
ADE
ECH
ADE
CB
Xét
ABC
vuơng tại
A
cĩ
I
là trung điểm của
BC
(định lý đường trung tuyến trong tam giác vuơng)
IA IB
2
BC
IAB
cân tại
I
IAB
IBA
(2)
Từ (1) và (2), ta suy ra:
ADE IAB
ACB IBA ACB ABC
90
(
ABC
vuơng tại
A
)
Áp dụng định lý tổng 3 gĩc trong
ADF
, ta cĩ:
180
180
FAD FDA AFD
AFD
FAD FDA
AFD
IA B ACB
180
A C
A
FD
B
ACB
180
90
90
vuông tại A
C
AFD
AB
Do đĩ,
IA
DE
(đpcm)