ĐẶT T 3LN X 22 LN X T2 3 2 LN XDX 3T DT2X 2      SUY RA I ..

3. Đặt

t

³

ln x 2

²

ln x t

²

³

2

^{ln xdx}

³

t dt

²

x

2







 





Suy ra

I

³

t dt

³

³

t

⁴

C

³

. (3ln x 2)

³

⁴

C

2

8

8

4

3

sin 2x.cos x













 













 





Ví dụ 4 Tìm nguyên hàm:

I

dx

tan x

tan x

4

4

Lời giải.





 





 







 

Ta có:

tan x 1 tan x 1

tan x

tan x

.

1





















4

4

1 tan x 1 tan x

1

Suy ra:

I

 

16 sin x.cos x cos xdx



⁴

⁶

Đặt

t



sin x



dt



sin xdx

nên ta có:

4

2 3

4

6

4

2

I

 

16 t (1 t ) dt 16 t (t











3t



3t



1)dt









11

9

7

5

11

9

7

5

t

t

3t

t

sin x

sin x

3sin x

sin x





















 





















16

C 16

C

11

3

7

5

11

3

7

5

tan xdx



Ví dụ 5 Tìm nguyên hàm:

I

2





sin x 3

I

dt

 

Đặt

t cos x





dt

 

sin xdx

. Suy ra





t 4 t

dy

dt

1





^(với

^y

^

²

_t

⁾



t

 

0

 



I

t

4

1

2

y

1





2

2

t

1

1

2

4

 



 



 

I

ln y

y

1

ln

1

C

2

2

cos x

cos x

dt

1

2

4



 



 



t 0

 

I

ln

1

C

2

cos x

4

cos x





^.

t

1

Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng phƣơng pháp từng phần

Phƣơng pháp:

Cho hai hàm số

u

và

v

liên tục trên





a; b





và có đạo hàm liên tục trên





a; b





. Khi đó :

 





udv uv





vdu



Để tính tích phân

^b

 

I





f x dx

bằng phương pháp từng phần ta làm như sau:

a

Bước 1: Chọn

u,v

sao cho

^{f x dx udv}

 

^

^{(chú ý:}

dv v' x dx



 

).

Tính

v





dv

^và

^{du u'.dx}

^

^.

Bước 2: Thay vào công thức

 

^

^{và tính}



vdu

^.

Cần phải lựa chọn

u

và

dv

hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được

v

và tích phân



vdu

dễ tính hơn



udv

^.

Ta thường gặp các dạng sau

2







, trong đó

^{P x}

 

là đa thức







Dạng 1 :

^I

^{P x}

 

^{sin x}

^dx

cos x







 



Với dạng này, ta đặt

u P x , dv

 

^{sin x}

dx





.

Dạng 2 :

^I

^



 

^{x e}

^{ax b}

^

^dx

 



u

P x





Với dạng này, ta đặt

 

ax b



, trong đó

^{P x}

 

là đa thức

dv

e

^

dx

Dạng 3 :

^I





P x ln mx n dx

  





 









u

ln mx n

Với dạng này, ta đặt





dv

P x dx



.

 



Dạng 4 :

I

^{sin x}

e dx

^x







sin x









u

cos x







.

Với dạng này, ta đặt

để tính



vdu

^{ta đặt}





x

dv e dx



BÀI TẬP TỰ LUYỆN