CÂU (1,0 ĐIỂM) CHO CÁC SỐ THỰC DƯƠNG A, B, C. TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT...
9. Ta có
(a
2b)(a
2c)
≤ (2a + 2b + 2c)/2 = a + b + c
(3a + b)(3a + c) ≤ (6a + b + c)²/4; (a + b + c)(a + 2b) ≤ (2a + c + 3b)²/4
và 3b² + 14bc + 8c² = (3b + 2c)(b + 4c) ≤ (4b + 6c)²/4
=> P ≥
8
2
8
2
64
2
(a
b c)
2
2(a
b c)
(6a
b c)
(2a
c 3b)
(4b 6c)
Mặt khác 1/x² + 1/y² ≥ 2/xy và xy ≤ (x + y)²/4 => 1/x² + 1/y² ≥ 8/(x + y)² (*)
Áp dụng (*) ta có
8
2
8
2
64
2
(6a
b c)
(2a
c 3b)
(8a
4b
2c)
Suy ra
8
2
8
2
64
2
64
2
64
2
8
2
(6a
b c)
(2a
c 3b)
(4b 6c)
(8a
4b
2c)
(4b 6c)
(a
b c)
Nên P ≥
8
2
(a
b c)
2
2(a
b c)
(a
b c)
Đặt t = a + b + c => P ≥ 8/t² + t² – 2t = g(t).
g’(t) = 2t – 2 – 16/t³ → g’’(t) = 2 + 48/t
4
> 0 với mọi t > 0
g’(t) = 0 <=> t = 2 và g’’(2) > 0 => g(t) có giá trị nhỏ nhất là g(2)
=> min P = g(2) = 2 khi a = 2/5 và b = c = 4/5.
10
Thời gian làm bài 180 phút