(ĐH KHỐI B – 2007). CHO HÌNH CHĨP TỨ GIÁC ĐỀU S.ABCD CĨ ĐÁY LÀ H...

Bài 4 (ĐH khối B – 2007). Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a. Gọi E là điểm

đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN

vuơng gĩc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.

Giải Gọi O là tâm của đáy ABCD. z

Vì hình chĩp đã cho là hình chĩp

E S

đều nên SO



(ABCD).

Ta chọn hệ trục Oxyz với O là gốc tọa độ,

tia OC



tia Ox, tia OD



tia Oy,

tia OS



tia Oz.

Khi đĩ ta cĩ

M

a ;0;0),



a ;0;0), C( 2

O(0;0;0), A( 2

2



a ;0), D(0; 2

a ;0),

y A

B(0; 2

D

Stia Oz



S (0;0; ) x (x > 0).

E đối xứng với D qua trung điểm của SA

O

a a

  

( ; ; )

E x



ADSE là hình bình hành 2 2

2 2

B C N x

a a x

M là trung điểm của AE 2 2



M

 

2 4 2

a x

N là trung điểm của BC 2 2

( ; ;0)



N



3 2

( ;0; )



MN

 

4 4

4 2

Mặt khác

BD(0;a 2;0)

.

. 0

MN BD MN BD

    

MN AC ax

 

, (0; ;0)

Lại cĩ

AC(a 2;0;0)

2

.

   

2

MN AC AN a x a



, . 4 2

  

.



   

d MN AC

Mà 3 2 2

AN

 

( , )

2 4

,

Nhận xét: Bài tốn 4 cĩ thể được tọa độ hĩa với gốc tọa độ là một đỉnh của đáy bằng việc kẻ thêm đường

thẳng qua đỉnh, song song với SO, tạo thành bộ ba đường thẳng đơi một vuơng gĩc tại đỉnh đĩ. Cái hay của

việc tọa độ hĩa ở lời giải chính là việc chọn biến x chưa biết đối với tọa độ điểm S, nhưng kết quả lại khơng

phụ thuộc vào x.