2. Nếu hai tam giác (P) và (Q) có :
- Chung c.đáy hoặc hai c.đáy bằng nhau và c.cao (P) = k x c.cao (Q) thì dt (P) = k x dt
(Q).
- Chung c.đáy hoặc hai c.đáy bằng nhau và dt (P) = k x dt (Q) thì c.cao (P) = k x c.cao
- Chung c.cao hoặc hai c.cao bằng nhau và c.đáy (P) = k x c.đáy (Q) thì dt (P) = k x dt
- Chung c.cao hoặc hai c.cao bằng nhau và dt (P) = k x dt (Q) thì c.đáy (P) = k x c.đáy
Sau đây là một số ví dụ :
Ví dụ 1 : Cho hình chữ nhật ABCD, gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của AB và
CD. Nối DM, BN cắt AC tại I và K. Chứng tỏ rằng AI = IK = KC.
Giải : (ở bài này ta cần vận dụng mối quan hệ giữa diện tích, c.đáy và c.cao của tam
giác)
Ta có : dt (ABC) = 2 x dt (AMD) (vì AB = 2 x AM và AD = BC) ; dt (DCM) = dt
(ABC) (vì AB = DC và c.cao cùng bằng BC)
Suy ra dt (DCM) = 2 x dt (AMD). Gọi CH và AE lần lượt là chiều cao của tam giác
DCM và DAM xuống đáy DM, khi đó CH = 2 x AE. Nhưng CH và AE lần lượt là
chiều cao của tam giác ICM và IAM có chung cạnh đáy IM. Vậy dt (ICM) = 2 x dt
(IAM). Mà tam giác IAM và ICM chung chiều cao từ M, do đó IC = 2 x AI, suy ra AC
= 3 x AI hay AI = 1/3 AC.
Làm tương tự với các cặp tam giác ABN và CBN ; KCN và KAN ta có KC = 1/3 AC.
Vậy AI = KC = 1/3 AC, suy ra IK = 1/3 AC.
Do đó AI = IK = KC.
Chú ý : ở đây để chứng tỏ các đoạn thẳng bằng nhau ta phải chứng tỏ các tam giác có
chung chiều cao và diện tích bằng nhau.
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC, gọi các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC
sao cho : AB = 3 x AM, AC = 3 x AN. Gọi I là điểm chính giữa của cạnh BC.
a) Chứng tỏ rằng tứ giác BMNC là hình thang và BC = 3 x MN.
b) Chứng tỏ rằng các đoạn thẳng BN, CM, AI cùng cắt nhau tại một điểm.
Giải :
a) Vì AB = 3 x AM, AC = 3 x AN, nên MB = 2/3 x AB, NC = 2/3 x AC.
Từ đó suy ra : dt (MBC) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ C)
dt (NCB) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ B)
Vậy dt (MBC) = dt (NCB) mà tam giác MBC và tam giác NCB có chung đáy BC, nên
chiều cao từ M bằng chiều cao từ N xuống đáy BC hay MN song song với BC. Do đó
BMNC là hình thang.
Từ MB = 2/3 x AB, nên dt (MBN) = 2/3 x dt (ABN) (chung chiều cao từ N) hay dt
(ABN) = 2/3 x dt (MBN).
Hơn nữa từ AC = 3 x AN, nên NC = 2 x AN, do đó dt (NBC) = 2 x dt (ABN) (chung
chiều cao từ B) ; suy ra dt (NBC) = 3/2 x 2 x dt (MBN) = 3 x dt (MBN).
Mà tam giác NBC và tam giác MBN có chiều cao bằng nhau (cùng là chiều cao của
hình thang BMNC). Vì vậy đáy BC = 3 x MN.
b) Gọi BN cắt CM tại O. Ta sẽ chứng tỏ AI cũng cắt BN tại O. Muốn vậy, nối AO kéo
dài cắt BC tại K, ta sẽ chứng tỏ K là điểm chính giữa của BC (hay K trùng với I).
Theo phần a) ta đã có dt (NBC) = 2 x dt (ABN). Mà tam giác NBC và tam giác ABN
có chung đáy BN, nên chiều cao từ C gấp 2 lần chiều cao từ A xuống đáy BN. Nhưng
đó là chiều cao tương ứng của hai tam giác BCO và BAO có chung đáy BO, vì vậy dt
(BCO) = 2 x dt (BAO)
Tương tự ta cũng có dt (BCO) = 2 x dt (CAO).
Do đó dt (BAO) = dt (CAO). Hai tam giác BAO và CAO có chung đáy AO, nên chiều
cao từ B bằng chiều cao từ C xuống đáy AO. Đó cũng là chiều cao tương ứng của hai
tam giác BOK và COK có chung đáy OK, vì vậy dt (BOK) = dt (COK). Mà hai tam
giác BOK và tam giác COK lại chung chiều cao từ O, nên hai đáy BK = CK hay K là
điểm chính giữa của cạnh BC. Vậy điểm K trùng với điểm I hay BN, CM, AI cùng cắt
nhau tại điểm O.
Bài tập thực hành : Cho tam giác ABC, gọi M là điểm chính giữa của cạnh BC và N
nằm trên cạnh AC sao cho NC = 2 x NA. Kéo dài MN cắt cạnh BA kéo dài tại P.
a) Chứng tỏ rằng AB = AP.
b) Gọi Q là điểm chính giữa của PC. Chứng tỏ rằng ba điểm B, N, Q cùng nằm trên
một đường thẳng.
c) Hãy so sánh : PN và NM ; BN và NQ.
GIẢI TOÁN TẠO LẬP SỐ
Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi ở tiểu học, dạng toán “Tạo lập số”
được đề cập ngay từ lớp 1. Càng lên lớp trên thì cấu trúc của dạng toán này yêu
cầu phức tạp hơn. Vậy việc dạy và học toán “Tạo lập số” như thế nào cho có hiệu
quả cao. Chúng ta hãy cùng trao đổi qua các bài toán sau :
Bài toán 1 : Cho các chữ số 1, 3, 5.
a) Lập các số có 3 chữ số từ những chữ số trên.
b) Lập các số có 3 chữ số khác nhau từ những chữ số trên.
Phân tích :
a) Các số lập được thỏa mãn các điều kiện :
- Có 3 chữ số.
- Từ các chữ số đã cho.
- Mỗi chữ số có thể lặp lại trong mỗi số.
Như vậy ta có sơ đồ hình cây như sau :
b) Các số lập được thỏa mãn các yêu cầu sau :
- Mỗi chữ số chỉ xuất hiện một lần ở mỗi số (khác ý a).
Ta có sơ đồ sau :
Giải : Nhìn vào sơ đồ hình cây (1) ta thấy :
a) Các số có 3 chữ số thỏa mãn yêu cầu đầu bài là : 111, 113, 115, 131, 133, 135,
Bạn đang xem 2. - Các phương pháa giải toán Tiểu học
