CHO HAI SỐ THỰC DƯƠNG X , Y THỎA MÃN LOG 100 X  Y 2   Y...

Câu 40. Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn ^log ₁₀₀ ^{x } _y ^{2 }  ^{y  x  2}  ^{y  x    2 1}  ^{2 . Giá trị}

  thuộc khoảng nào dưới đây?

ln y 2

lớn nhất của biểu thức  ² 

P

2021

x

A.  ^700;800  ^{. B.}  ^{500; 600}  ^{. C.}  ^{600; 700}  ^{. D.}  ^800;900  ^.

Lời giải

Với x  2 và y  0 thì

       

  

log 2 2 2 1 2

x y x y x

100

y

  ²

       

log x 2 log 100 y y y x x 2

 

       

log x 2 x x 2 y 2 y log 100 y

         . (1)

log x 2 x 2 x 2 log y y 2 y

Đặt ^{y  f t}   ^{ log t   t 2 t , t  0 thì}

  ^{1 2 1 0, 0}

f t t t

.ln10

  t     

nên ^{y  f t}   ^{ log t   t 2 t} đồng biến trên  ^{0;  }  ^{. (2)}

Từ (1) và (2), suy ra

2

y  x  .

Thế y  x  2 vào P , ta có

ln x

P  x .

Khi đó,

1 1 ln

      .

2021 0 e

P x

.

x x

Bảng biến thiên

x 2 e ²⁰²¹ 

P  + 0 –

e

Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị lớn nhất của P là ^{2021 743, 48}  ^700;800 

e   .

  

   ^bằng

e

f x

x x khi x

ln 2

     . Tích phân  