BÀI TỐN VỀ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU

1. Bài tốn về hàm số đơn điệu: Đề MH2 cĩ 2 câu về chủ đề này (1NB, 1VD)

A. Lý thuyết:

Cĩ 2 hướng các em hs cần nắm vững:

Hướng 1: Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

Giả sử hàm số

f

cĩ đạo hàm trên

K

+ Nếu

^{f x}

^'

( )

^≥

⁰

^{với mọi}

^x

^∈

^K

và

^{f x}

^'

( )

⁼

⁰

chỉ tại một số hữu hạn điểm

x K

∈

thì hàm s

ố

f

đồng biến trên

^K

.

+ Nếu

^{f x}

^'

( )

^≤

⁰

^{với mọi}

^x

^∈

^K

và

^{f x}

^'

( )

⁼

⁰

chỉ tại một số hữu hạn điểm

^x

^∈

^K

thì hàm s

ố

f

nghịch biến trên

^K

.

Chú ý:





=

+

+





≠ −





thì dấu

^"

⁼

^"

khi xét dấu đạo hàm

y

′

khơng xảy ra.

Đối với hàm phân thức hữu tỉ

y

ax b

x

d

cx d

c

Hướng 2: Giúp hs nhìn bảng biến thiên (hoặc bảng dấu y’) mà trả lời.

B. Các ví dụ:

Ví dụ 1.

(C10 MH2 2020)

Cho hàm số

f x

( )

cĩ bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

( ; 1)

−∞ −

. B.

(0;1)

.

C.

( 1;0)

−

.

D.

( ;0)

−∞

.

Hướng dẫn

NX: BT này là BT về đọc BBT.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên

(

−

1;0

)

. Chọn C.

Ví dụ 2.

Cho đồ thị hàm số

y f x

=

( )

cĩ đồ thị như hình vẽ. Hàm số

y f x

=

( )

đồng biến trên khoảng nào

dưới đây?

A.

(

−

2; 2

)

.

B.

(

−∞

; 0

)

.

C.

(

0; 2 .

)

D.

(

2;

+ ∞

)

.

NX: BT này là BT về đọc đồ thị.

- Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số

y f x

=

( )

đồng biến trên khoảng

(

0; 2 . Chọn C.

)( )

y

x

=

+

=

−

A.

1

3

x

+

.

B.

y

= − + +

x

³

x

1

.

C.

1

2

−

. D.

y

= − +

x

³

3

x

²

−

9

x

.

NX: Đây là BT cần tính tốn đạo hàm cấp 1 để chỉ ra sự đơn điệu của hàm số.

Vì tập xác định của hàm

phân thức nên hs cần biết để loại nhanh chúng.

- Hàm số

y

= − +

x

³

3

x

²

−

9

x

cĩ

y

′ = −

3

x

²

+

6

x

− = −

9

3

(

x

−

1

)

²

− <

6 0

,

∀ ∈ −∞ + ∞

x

(

;

)

nên nghịch biến

trên

(

−∞ + ∞

;

)

. Chọn D.

Ví dụ 4.

(C41 MH2 2020)

Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m

sao cho hàm số

( )

4

3

=

1

³

+

²

+

+

f x

3

x mx

x

đồng biến trên



?

A. 5.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

NX: Bài này thuộc cấp VD. HS cần hiểu về điều kiện HS đồng biến và điều kiện tam thức khơng đổi dấu

trên



.

+ Tính '( )

f x

=

x

²

+

2

mx

+

4



∆ ≤

'( ) 0,

⇔

≥ ∀ ∈ ⇔ 



>

+ Hàm số đã cho đồng biến trên

' 0





f x

x

0

a

{ }

2

2

b

ac

m

m

^∈

m

'

0

4 0

2

2

^m

2; 1;0;1;2

⇔

−

≤ ⇔

− ≤ ⇔ − ≤ ≤ 

^

→ ∈ − −

Chọn A.

Ví dụ 5.

(C39 MH1 2020) Cho hàm số

f x

( )

⁼

^mx

₋

⁻

⁴

x m

(m là số thực). Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của m để

hàm số đã cho đồng biến trên

(

0;

+∞

)

?

A.

5

.

B.

4

.

C.

3

.

D.

2

.

NX: là bài xét sự đơn điệu trên 1 miền nào đĩ của hàm phân thức 1/1. Vì vậy chú ý 2 điều: Đk tồn tại cho

hs và đạo hàm khơng cĩ dấu bằng.

+ Trước hết theo yêu cầu bài tốn ta phải cĩ

m

≤

0

.

f x

m

m

m

+ Tiếp theo

( )

'

−

0

4

0

2;2

=

> ⇒ −

> ⇒ ∈ −

(

⁴

²

)

₂

²

( )

−

x m

Kết hợp ta cĩ

m

∈

{

0; 1;

−

}

. Chọn D.

C. Các bài tập tương tự: (dành cho hs tự ơn)