8 THÍ DỤ CHO LƯỚI GIÁ TRỊ ( ĐÂY CŨNG CHÍNH LÀ CÁC GIÁ TRỊ CỦA HÀM SINX)
4.1.8 Thí dụ
Cho lưới giá trị ( Đây cũng chính là các giá trị của hàm sinx) :
Bảng 4-5
x 0,1 0,2 0,3 0,4
y 0,09983
0,19867
0,29552
0,38942
Hãy tính giá trị gần đúng tại y(0,14) và y(0,46)
Giải : Dựa vào lưới ta tìm hàm y dưới dạng một đa thức nội suy.
Ta thấy các nút ở đây cách đều với h = 0,1 nên ta áp dụng đa thức Niutơn.
Ta lập bảng sai phân :
Bảng 4-6
i x y
∆y
∆
2
y
∆
3
y
0 0.1
0.09983
0.09884
1 0.2
0.19867
-0.00199
0.09685
-0.00096
2 0.3
0.29552
-0.00295
0.09390
3 0.4
0.38942
i x y
∇y
∇
2
y
∇
3
y
a) Tính y(0,14) vì 0,14 ≤ 0,1 ≤ 0,2 nên ta dùng đa thức Niutơn tiến xuất phát từ
x
0
= 0,1 với h = 0,1 dựa vào các sai phân tiến đi xuống ở bảng 4-6 (gạch dưới
một gạch) :
x
t
t
09884
(
1
)
00199
(
)(
2
−
−
+
=
+
−
09983
,
p
x
t
00096
!
0
0
(
0
,
1
0
,
1
−
−
=
3
Ứng với x = 0,14 ta có 0,14 = 0,1 + 0,1t ⇒ t = 0,4. Thay vào vế phải ta tính được
y(0,14) ≈ p(0,1 + 0,1.0,4) = 0,13954336.
Sai số tính theo công thức (4-5). Trường hợp này ta biết y(x) = sinx và n = 3 nên:
|sin
n+1
(x)| = |sin
(4)
(x)| = |sinx| ≤ 1
π(x) = (x - 0,1)(x - 0,2)(x - 0,3)(x - 0,4)
π(0,14) = (0,14 - 0,1)(0,14 - 0,2)(0,14 - 0,3)(0,14 - 0,4)≤ 10
-4
10
−
−
Theo (4-5) ta có |sin(0,14) - 0,13954336| ≤
4
4
,
2
.
10
6
≤
4
!
Ta thấy rằng số 0,13954336 có nhiều chữ số đáng nghi ta qui tròn đến 5 chữ số
lẻ thập phân :
y(0,14) = sin(0,14) = 0,13954 ± 10
-5
b)Tính y(0,46) = sin(0,46). Vì 0,46 > 0,4 ta dùng đa thức Niutơn lùi xuất phát từ
x
3
= 0,4. Dựa vào các sai phân lùi (gach dưới hai gạch) trong bảng 4-6:
00295
(
09390
(
t
t
+
−
x
P
x
t
(
0
,
4
0
,
1
+
+
38942
.
!
.
Với x = 0,46 ta có 0,46 = 0,4 + 0,1t ⇒ t = 0,6. Thay t = 0,6 vào vế phải ở trên ta
tính được : Sin(0,46) ) ≈ p(0,4 + 0,1.0,6) = 0,4439446
Sai số tính theo (4-5) như trên ta có |sin(0,46) - 0,4439446| ≤ 3,8.10
-5
Ta quy tròn đến 5 chữ số lẻ thập phân được sin(0,46) = 0,44394 ± 10
-5
Nhận xét : Sai số khi tính sin(0,46) gấp 5 lần khi tính sin(0,14). Bởi vì 0,46
∉[0,1;0,4] tức là ta phải “ngoại suy” còn 0,14∈[0,1;0,4] đúng là nội suy.