CÓ BAO NHIÊU SỐ NGUYÊN Y TRONG ĐOẠN [−2021; 2021] SAO CHO BẤT...

Câu 40. Có bao nhiêu số nguyên y trong đoạn [−2021; 2021] sao cho bất phương trình11

log

x

10

^log

^x

đúng với mọi x thuộc(1; 100)?(10x)

^y+

10

≥10A 2021. B. 4026. C. 2013. D. 4036.Lời giải.Ta cóÅã(10x)

^y+log

^x

10≥10

¹¹

¹⁰

^log

^x

⇔y+logxlog(10x)≥ 11y+ logx(1+logx)≥ 111010logx⇔10logx. (1)Đặt logx=t. Ta có x∈(1; 100)⇒logx∈(0; 2)⇒t ∈(0; 2). Bất phương trình trở thànhy+ t(t+ 1)≥ 1110t ⇔y(t+ 1)≥ −t

²

+ 10t10 ⇔ −t

²

+ 10t10(t+ 1) ≤y. (2)Xét hàm sốf(t) = −t

²

+ 10t10(t+ 1) trên khoảng(0; 2), ta cóf

⁰

(t) = −t

²

−2t+ 1010(t+ 1)

²

⇒f

⁰

(t)>0,∀t∈(0; 2).⇒f(0) < f(t)< f(2),∀t ∈(0; 2)⇔0< f(t)< 815,∀t∈(0; 2).Yêu cầu bài toán⇔(2) đúng với mọi t∈(0; 2)⇔f(t)≤y,∀t∈(0; 2)⇔y≥ 815.òï 8.Kết hợp với điều kiện y∈[−2021; 2021]⇒y∈15; 2021Vậy có tất cả 2021 giá trị nguyên củay thóa mãn yêu cầu bài toán.

π

®2x−2 khi ≤0Z