.BÀI TOÁN TÌM HỆ SỐ TRONG KHAI TRIỂN NEWTON.BÀI TOÁN 1
1/.Bài toán tìm hệ số trong khai triển newton.
Bài toán 1: (Đề thi ĐH Thuỷ lợi cơ sở II, 2000)Khai triển và rút gọn đa thức:
( ) ( 1 ) (
9
1 )
10
... ( 1 )
14
Q x = + x + + x + + + x
Ta được đa thức: Q x ( ) = + a
0
a x
1
+ + ... a x
14
14
Xác định hệ số a
9
.
Giải:
Hệ số x
9
trong các đa thức ( 1 + x ) (
9
, 1 + x )
10
,..., 1 ( + x )
14
lần lượt là: C C
9
9
,
10
5
,..., C
14
9
Do đó:
1 1 1 19
5
9
... 1 10 .10.11 .10.11.12 .10.11.12.13 .10.11.12.13.14a =C +C + +C = + + + + +9
9
10
14
2 6 24 20a
9
=11+55+220+715+2002=3003
Bài toán 2:(ĐHBKHN-2000) 1 6Giải bất phương trình:
2
2
2
3
2Ax
Ax
Cx
10− ≤ x +Điều kiện: x là số nguyên dương và
x
≥
3
Ta có: dất phương trình đã cho tương đương với:
( ) ( ) ( ) ( )
− − −x x x x2 1 2 6 2 1− − ≤ +x x1 102 3!x⇔ − − − ≤ − − +2 2 1 2 2 1 10x x x x x x⇔ ≤ ⇔ ≤3 12 4Vì x là nghiệm nguyên dương và
x≥3nên
x∈{ }
3; 4Bài toán 3: (ĐH KA 2004)Tìm hệ số của x
8
trong khai triển đa thức của: 1 + x
2
( 1 − x )
8
k
k
k
k
k
k
i
i
i
= ∑ − = ∑ ∑ −
1 1 .
f x C x x C x C x
Cách 1: Ta có: ( )
8
8
2
( )
8
8
2
( )
k
=
=
=
k
k
i
0
0
0
=0 8 0i k i≤ ≤ ≤ =2 8 4k i k + = ⇒ Vậy ta có hệ số của x
8
là: ( ) − 1
i
C C
8
k
k
i
thỏa mãn
=, 2 ∈ ¥ =k3Hệ số trong khai triển của x
8
là: ( )
−10
C C8
4
4
0
+ −( )
12
C C8
3
3
2
=238
Cách 2: Ta có:
( )
8
0
...
8
3
2
( 1 )
3
8
4
2
( 1 )
4
...
8
8
2
( 1 )
8
f x = C + + C x − x + C x − x + + C x − x
Nhận thấy: x
8
chỉ có trong các số hạng:
•Số hạng thứ 4: C x
8
3
2
( 1 − x )
3
•Số hạng thứ 5:
C8
4
x2
(
1−x)
4
Với hệ số tương đương với: A
8
= C C
8
3
3
2
+ C C
8
4
4
0
=238
Bài toán 4:(ĐH HCQG, 2000)112
+ 1 xa)Tìm hệ số x
8
trong khai triển
÷ b)Cho biết tổng tất cả các hệ sô của khai triển nhị thức (
x2
+1)
n