HÀM SỐ ỰÃ CHO XÁC ỰỊNH TRÊN ℝ. TA CÓ F '( )X = −2 SIN 2( X +1)≤ ∀ ∈...

2 .Hàm số ựã cho xác ựịnh trên ℝ. Ta có ^{f '}

( )

^{x = −2 sin 2}

(

^{x +1}

)

^{≤ ∀ ∈0, x ℝ và '}

( )

^{0 sin 2 1 ,}f x = ⇔ x = − ⇔x = −π4 +kπ k ∈ℤπ π π π − + − + + ∈ Hàm số nghịch biến trên mỗi ựoạn ^;

(

¹

)

^,4 k 4 k k  ℤ. Do ựó hàm số nghịch biến trên ℝ. Vắ dụ 5: Tìm khoảng ựơn ựiệu của hàm số ^{f x}

( )

^{= sinx} trên khoảng

(

^0;2π

)

Giải : Hàm số ựã cho xác ựịnh trên khoảng

(

^0;2π

)

và có ựạo hàm ^f'

( )

^{x = cos ,x x∈}

(

^0;2π

)

^.

( ) ( )

³' 0, 0;2 ,f x = x ∈ π ⇔x = π x = π2 2Chiều biến thiên của hàm số ựược nêu trong bảng sau : π 3π 2πx 0 2

( )

'f x + 0 − 0 +f x 1 0 0 −1π π π3 ;2 2; 2Hàm số ựồng biến trên mỗi khoảng 0; ^và  , nghịch biến trên khoảng 3 ^. Vắ dụ 6: + > ∀ ∈  Chứng minh rằng : sin tan 2 , 0;x x x x  π2  ^.   Xét hàm số ^{f x}

( )

^{=sinx +tanx −2x} liên tục trên nửa khoảng 0; ^{.Ta có :}

( )

2

²

2

( )

1 1= + − > + − > ∀ ∈ ⇒' cos 2 cos 2 0, 0;f x x x x f xcos cos 2  là hàm số ựồng biến trên x x> ∀ ∈  0;2f x f x  π2 ^và

( ) ( )

^{0 , 0;}  ^hay sin tan 2 , 0;ỨNG DỤNG đẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN đẠI SỐ Vắ dụ 1: Giải phương trình :

^81sin

¹⁰

^{x + cos}

¹⁰

^{x =} ₂₅₆ ⁸¹ ( ) ^*

đặt

t = sin

²

x ; 0 ≤ ≤ t 1

. Khi ựó phương trình

( ) ^{* ⇔ 81 t}

⁵

^{+ (1 − t )}

⁵

⁼ ₂₅₆ ^{81 , t} _{∈  } ^{ 0;1 }

Xét hàm số

f t ( ) = 81 t

⁵

+ (1 − t )

⁵

liên tục trên ựoạn

  0;1  

^{, ta có:}

4

4

'( ) 5[81 (1 ) ],t 0;1

f t = t − − t ∈    

 = −

81 (1 ) 1

t t

= ⇔   ⇔ =

'( ) 0

f t t

0;1 4

 

 ∈  

t



( ) ( )

f t ≥ f =

Lập bảng biến thiên và từ bảng biến thiên ta có:

1 81

4 256

sin cos 2 ( )

t = ⇔ x = ⇔ x = ⇔ x = π + k π k ∈ Z

. Vậy phương trình có nghiệm

1

²

1 1

4 4 2 6

Vắ dụ 2: Giải phương trình :

2

2