Câu 4 (3,0 điể m).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạ nh a, SA vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (ABCD), SA = a.
M ộ t m ặ t ph ẳ ng qua CD c ắ t SA, SB l ần lượ t t ạ i M, N . Đặ t AM = x, v ớ i 0 x a .
a. T ứ giác MNCD là hình gì? Tính di ệ n tích t ứ giác MNCD theo a và x.
b. Xác đị nh x để th ể tích kh ố i chóp S.MNCD b ằ ng 2
9 l ầ n th ể tích kh ố i chóp S.ABCD.
Hướ ng d ẫ n
Vì ABCD là hình vuông nên AB // CD, suy ra AB // do đó AB // MN hay ta có MNCD là hình
thang. M ặ t khác: CD AD, CD SA nên CD mp(SAD) suy ra MN (SAD) suy ra MN MD.
V ậ y t ứ giác MNCD là hình thang vuông t ạ i D và M.
T ừ đó ta có DM là đườ ng cao c ủ a hình thang MNCD.
và MA = x nên DM x
2 a
2 . Do đó ta tính diệ n tích
Ta có MN SM a x MN a x
AB SA a
CD MN DM a x x a
.
S
MNCD là: . 2
2 22 2
SH MNDAB C31 .
V SAS a (1). K ẻ SH vuông góc v ớ i DM, (H thu ộ c DM), ta có:
Ta có
S ABCD ABCD.3 3
MN (SAD) (theo ch ứ ng minh câu a) nên MN SH, suy ra SH (MNCD), t ừ đó SH là đườ ng cao
c ủ a kh ố i chóp S.MNCD.
Trong hai tam giác vuông đồ ng d ạ ng SHM và DAM ta có:
a a x
SH SM a x SH
DA DM x a x x a
2 2 2 2 do đó thể tích c ủ a kh ố i chóp S.MNCD là:
2 2
a a x a x x a a a x a x
' 1 . .
V x a
3 2 6
2 2 (2).
a a x a x a
T ừ (1), (2) và yêu c ầ u bài toán ta có phương trình: 2 2 .
36 9 3
x x x a
2 2
t t t t x
9 1 2 4 9 1 2 4, 0;1 0;1
a a a
.
x a thì th ể tích kh ố i chóp S.MNCD b ằ ng 2
V ậ y v ớ i 2
3
Bạn đang xem câu 4 - Đề thi HSG Toán 12 THPT cấp tỉnh năm 2019 - 2020 sở GD&ĐT Quảng Bình -