TRONG KHÔNG GIAN VỚI HỆ TỌA ĐỘ OXYZ, CHO BA ĐIỂM A0;1;1, B3...

Câu 36.

Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

,

cho ba điểm

^A



^0;1;1



_,

^B



^{3;0; 1}

^



_,

^C



^{0; 21; 19}

^



_và

mặt cầu

  

^S

^:

^x

^

¹



²

^



^y

^

¹



²

^



^z

^

¹



²

^

¹

. Gọi điểm

^{M a b c}



^{; ;}



là điểm thuộc mặt cầu

 

^S

sao cho biểu thức

T



3

MA

²



2

MB

²



MC

²

đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng

S

  

a b c

.

A.

S



12

.

B.

¹⁴

S



5

.

C.

¹²

S



5

.

D.

S



0

.

Lời giải

.

Gọi điểm

^{K x y z}



^{; ;}



^{sao cho}

³

^

^KA

^

²

^KB

  

^

^KC

^

⁰









 





;1

;1

KA

x

y

z









 

x

x

x

3

2 3

0





x

1

































y

K

3 1

2

21

0

y

y

y

4

1; 4; 3







 

KB

x

y

z

3

;

; 1

Ta có





 







  











 

3

z









3 1

2 1

19

0

z

z

z



KC

x

y

z

; 21

; 19





 

 

2

2

2

2













MA

MK

KA

MK

MK KA

KA

3

3

3

6

.

3















MB

MK

KB

MK

MK KB

KB

Khi đó

2

2

2

4

.

2

2

.

2

MC

MK

KC

MK

MK KC

KC

2

2

2









^

⁵

^MK

²

^

²

^MK

^{ }



³

^KA

^

²

^KB

^{ }

^

^KC



^

^

³

^KA

²

^

²

^KB

²

^

^KC

²

^

T

MA

MB

MC

3

2

5

3

2

MK

KA

KB

KC















. Do đó

T

_min

khi và chỉ khi

MK

_min

.

const

Suy ra

^M

^

^IK

^

 

^S

và đồng thời

M

nằm giữa

I

và

K

.













 

0;3; 4

:

1 3

Ta có





. Suy ra toạ độ điểm

M

thoả mãn:

IK

IK

y

t

1 4

z

t

 

³

²

 

⁴

²

¹

¹

1; ;

5 5

M









t



5

và

8 1

t



t

   

t

5

. Vì

M

nằm giữa

I

và

K

nên

¹





.

Vậy

1

⁸

¹

¹⁴

S



a

   

b

c





.

5

5

5



