CHO HÌNH CHÓP S ABCD. CÓ ĐÁY LÀ HÌNH VUÔNG CẠNH 2A, TAM GIÁC S...

Câu 42.

Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy là hình vuông cạnh

2a

, tam giác

SAB

đều, góc giữa



^SCD



^và



^ABCD



^bằng

⁶⁰

^

^{. Gọi}

^M

là trung điểm của cạnh

AB

. Biết hình chiếu vuông góc của đỉnh

S

trên mặt phẳng



^ABCD



nằm trong hình vuông

ABCD

. Tính theo

a

khoảng cách giữa đường

thẳng

SM

và

AC

.

a

.

D.

2

5

a

.

B.

2

15

a

.

C.

5

3

a

.

A.

5

5

3

Lời giải

S

2a

K

A

D

60

^°

O

H

M

N

B

C

E

I

Gọi

N E

,

lần lượt là trung điểm của

CD BC

,

. Ta có:



SAB

đều nên

SM



AB

mà

AB

/ /

CD

SM



CD

và

MN



CD

do đó

SN



CD

hay góc giữa hai mặt phẳng



^SCD



^và



^ABCD



^là



60

SNM



^

.

Trong mặt phẳng



^SNM



^từ

^S

^kẻ

^SH

^

^{MN H}

^,

^

^MN

^{ta có}

^SH

^

^CD

^nên

^SH

^



^ABCD



^.

Trong mặt phẳng



^ABCD



^từ

^H

^kẻ

^HI

^

^{ME I}

^,

^

^ME

^{, từ}

^H

^kẻ

^HK

^

^{SI K}

^,

^

^SI

^{ta có}





SH



ABCD



SH



ME

nên

^ME

^



^SIH



^

^ME

^

^HK

^mà

^HK

^

^SI

^do

^đó

HK



SIH

hay

^{d H SME}



^,







^

^HK

^.

Mã đề: 012

Trang 17

Xét



SAB

đều cạnh

2a

nên

SM



a

3

.

Xét



SMN

có

SM

²



MN

²



SN

²



2.

SN MN

.

.cos

SNM





3

a

²



4

a

²



SN

²



2 .

a SN

.

SH



SN

SNM



a

.

HN

SN

SNM

a

2

2

2 .

0

SN

a SN

a











SN



a

.cos

^

.sin

2







và



3

2

MH



a

và

MO



a

nên

^{d O SME}



^,







^MO

^{d H}



^,



^SME





Do đó:

³





MH

²



^,







3

d H

SME





.

Lại có:

ME

/ /

AC

nên

^AC

^{/ /}



^SME



^

^{d SM AC}



^,



^

^{d AC SME}



^,









^,







²

d O SME

3

HK

Xét



MHI

vuông tại

I

có

HMI





45

^

nên



MHI

vuông cân tại

I

do đó

3

2

MH

a

MI



HI





.

2

4

a

a

3

2

3

.

3

5

a

HI SH

.

4

2

.









Xét



SHI

có

¹

₂

¹

₂

¹

₂

HK

HK



HI



SH

9

3

10

HI

SH



²

²



8

4



a

.

Vậy

^

^{d SM AC}



^,





^,







²





5