NHẬN THẤY M VÀ N KHÁC 1, 2, 5. CHIA HÌNH CHỮ NHẬT M.N THÀNH M....
Bài 17. Nhận thấy m và n khác 1, 2, 5. Chia hình chữ nhật m.n thành m.n ô vuông đơn vị và đánh
số các hàng từ dưới lên, đánh số các cột từ trái qua phải. Ta gọi ô
( )
p;q
là ô nằm ở hàng thứ p và
cột thứ q. Hai hiên gạch hình móc câu có thể ghép được thành các hình dưới đây.
X
O
O
O
O
O
O
X
O
X
O
O
X
O
X
X
X
O
X
O
X
X
X
X
Do đó để lát được hình chữ nhật m.n thì tích m.n phải chia hết cho 12. Nếu một trong hai số m và
n chia hết cho 4 thì có thể lát được hình chữ nhật m.n. Thật vậy, nếu m chia hết cho 4 và n chia hết
cho 3 thì hình chữ nhật m.n có thể chia thành các hình chữ nhật 4.3 và do đó có lát được. Nếu m
chia hết cho 4 và n không chia hết cho 3 thì ta có thể viết n về dạng
n 3a 4b
=
+
với a và b là các số
CH
UY
ÊN
Đ
Ề
S
Ố
H
Ọ
C
nguyên dương, khi đó bảng m.n có thể lát được.
Bây giờ ta chứng minh một trong hai số m và n chia hết cho 4. Giả sử ngược lại cả m và n cùng
chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4. Để chứng minh được điều này không xẩy ra ta cần tạo
ra một bất biến. Để tạo ra bất biến ta điền vào các ô của hình chữ nhật theo quy tắc sau: Xét ô
( )
p;q
. Nếu hai tọa độ p và q cùng chia hết cho 4 thì ta điền vào ô
( )
p;q
số 1, nếu chỉ p hoặc q chia
hết cho 4 thì ta điền vào ô
( )
p;q
số 2. Với các điền như vậy thì ta thu được bất biến là tổng các số
trong các ô ở hình thứ nhất và hình số hai đều là số lẻ. Do m và n là số chẵn nên tổng các số trong
các ô ở hình chữ nhật m.n là số chẵn. Muốn lát được hình chữ nhật m.n thì tổng số hình thứ nhất
và hình thứ hai phải là số chẵn. Khi đó m.n chia hết cho 24, điều này không xảy ra vì m, n không
chia hết cho 4.
.517 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC
| ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 10: CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN