⇒ 1. GIẢ SỬ NG−ỢC LẠI TẬP D KHÔNG LIÊN THÔNG. KHI ĐÓ D = A ∪ B VỚI...

3. ⇒ 1. Giả sử ng−ợc lại tập D không liên thông. Khi đó D = A ∪ B với A ∩ B = ∅ và các tập A, B vừa mở vừa đóng trong D. Chọn (a, b) ∈ A ì B, theo giả thiết có đ−ờng cong (a, b) nằm gọn trong D. Chia đôi đ−ờng cong (a, b) bằng điểm c. Nếu c ∈ A xét đ−ờng cong (a

₁

= c, b

₁

= b), còn nếu c ∈ B xét đ−ờng cong (a

1

= a, b

₁

= c). Tiếp tục chia đôi đ−ờng cong chúng ta nhận đ−ợc d~y thắt lại a

_n

, b

_n

→ c ∈ A ∩ B. Trái với giả thiết A ∩ B = ∅. • Cho tập D ⊂ ∀ bất kì. Hai điểm a, b ∈ D gọi là liên thông, kí hiệu là a ~ b nếu có đ−ờng cong nối a với b và nằm gọn trong D. Có thể chứng minh rằng quan hệ liên thông Ch−ơng 1. Số Phức là một quan hệ t−ơng đ−ơng theo nghĩa tổng quát. Do đó nó chia tập D thành hợp các lớp t−ơng đ−ơng không rỗng và rời nhau. Mỗi lớp t−ơng đ−ơng [a] = { b ∈ D : b ~ a } (1.7.3) gọi là một thành phần liên thông chứa điểm a. Tập D là tập liên thông khi và chỉ khi nó có đúng một thành phần liên thông. Miền D gọi là đơn liên nếu biên ∂D gồm một thành phần liên thông, tr−ờng hợp trái lại gọi là miền đa liên. Biên ∂D gọi là định h−ớng d−ơng nếu khi đi theo h−ớng đó thì miền D nằm phía bên trái. Sau nay chúng ta chỉ xét miền đơn hoặc đa liên có biên gồm hữu hạn đ−ờng cong đơn, trơn từng Dkhúc và định h−ớng d−ơng. Nh− vậy nếu miền D là miền đơn liên thì hoặc là D = ∀ hoặc là ∂D

⁺

là đ−ờng cong kín định h−ớng ng−ợc chiều kim đồng hồ. • Trong giáo trình này chúng ta th−ờng xét một số miền đơn liên và đa liên có biên định h−ớng d−ơng nh− sau. | z | < R 0 < arg z < α Im z > 0 Re z > 0 a < Re z < b a < Im z < b | z | > R r < | z | < R ∀ - [-1, 1]

Bài tập ch−ơng 1