(I) XÉT HÀM SỐ G(X) = E−XSINF(X). HÀM SỐ G(X)LIÊN TỤC TRÊN [0,...

Câu 3. (i) Xét hàm số g(x) = e

^−x

sinf(x). Hàm số g(x)liên tục trên [0, π], khả vi (0, π)vàg(0) =g(π) = 0. Theo Định lý Rolle, tồn tạic∈(0, π)sao chog

⁰

(c) = 0. Mặt khác, ta cóg

⁰

(x) =e

^−x

(−sinf(x) + cosf(x)f

⁰

(x)).Suy ra−sinf(c) + cosf(c)f

⁰

(c) = 0.Vậyf

⁰

(c) = tanf(c).(ii) Với mỗix∈(0, π)cố định, áp dụng Định lý Lagrange cho các đoạn[0, x],[x, π]và sử dụnggiả thiết|f

⁰

(x)|<1, f(0) =f(π) = 0ta có∃c

1

∈(0, x) :|f(x)|=|f(x)−f(0)|=|f

⁰

(c

1

)||x|<|x|,∃c

2

∈(x, π) :|f(x)|=|f(π)−f(x)|=|f

⁰

(c

₂

)||π−x|<|π−x|.Dox∈(0, π)nên min{|x|,|π−x|} ≤ π2. Từ các bất đẳng thức trên suy ra|f(x)|<min{|x|,|π−x|} ≤ π2.