(2,0 ĐIỂM). CHO TỨ DIỆN ABCD CÓ AB=CD= 5,AC=BD= 10,AD=BC= 13. TÍ...

Câu 5 (2,0 điểm). Cho tứ diện ABCD có AB=CD= 5,AC=BD= 10,AD=BC= 13. Tính khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng (BCD). Hướng dẫn ABαQMa = 13b = 10IHB Dc = 5C DNPCGọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Dễ thấy các mặt của tứ diện là các tam giác bằng nhau (c.c.c) nên các trung tuyến tương ứng bằng nhau: CM = DM hay ta có tam giác CMD cân. Suy ra (trong mặt phẳng (MCD)) thì MP là đường trung tuyến cũng là trung trực của CD. Cũng như thế MP là trung trực của AB. Tương tự có NQ là trung trực của BC và AD. Mặt khác dễ dàng chứng minh được MNPQ là hình bình hành tâm I. Suy ra IA = IB = IC = ID = R và I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Hơn nữa bốn mặt của tứ diện là các tam giác bằng nhau nên các bán kình đường tròn ngoại tiếp bằng nhau, suy ra I cách đều 4 mặt của tứ diện. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mp(BCD) thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD. Đặt AB=CD= =c AC=BD= =b AD=BC= =a IH =h HC =r. Ta có: 5, 10, 13, ,a b c

²

²

²

9 7B= α = ⁺ ab⁻ = ⇒ α = nên diện tích mỗi mặt là: cos cos sin2 130 130

2

2

2

2

a b c cr CH abc1 7

2

2

2

MP =MC −CP = + − −S = ab α = . Do đó ^{5 26}2 sin 22 4 4= = S = . Mà 4 143 3⇒ = ⇒ = . Nên

²

²

²

²

5 9 7

²

²

7 25.26 3R =IC =CP +IP = + = ⇒ =h IH = R −r = − = . 4 4 2 2 196 7MP IP 2Từđó thể tích tứ diện là 4

_.

⁴. . ^{4 3 7}. . 2V = V = h S= = . Gọi d là khoảng cách từA đến (BCD):

I BCD

3 3 7 2d VTa có ^{3 12}= S = . 7