... ....22+ ≥NNTÓM LẠI CÁC B−ỚC ĐỂ CHỨNG MINH A≥B THO ĐỊNH NGHĨA...

Question

1 .... ....2+ ≥nTóm lại các b−ớc để chứng minh A≥B tho định nghĩa  B−ớc 1: Ta xét hiệu H = A - B  B−ớc 2:Biến đổi H=(C+D)2hoặc H=(C+D)2+….+(E+F)2 B−ớc 3:Kết luận A ≥ B Ví dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99)  Chứng minh ∀m,n,p,q ta đều có  m2+ n2+ p2+ q2+1≥ m(n+p+q+1)  Giải:   − +2 204 1+≥⇔ m mm mpm mnpm mqq4  − (luôn đúng) 2 1 +⇔ m ≥m nm pm q22 0n m=−p mmDấu bằng xảy ra khi ⇔ ⇔1q m22 ph−ơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi t−ơng đ−ơng L−u ý:  Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh t−ơng đ−ơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đ` đ−ợc chứng minh là đúng.  Chú ý các hằng đẳng thức sau:  (A+B)2 = A2 +2AB+B2 (A+B+C)2 = A2 +B2 +C2 +2AB+2AC+2BC (A+B)3 = A3+3A2B+3AB2 +B3 Ví dụ 1:  Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng  a)  b aba + ≥ b)a2 +b2 +1≥ab+a+b c)a2 +b2 +c2 +d2 +e2 ≥a(b+c+d+e) a)  b ab ⇔4a2 +b2 ≥4ab ⇔4a2 −4a+b2 ≥0 ⇔(2a−b)2 ≥0 (bất đẳng thức này luôn đúng) 2  (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)  Vậy b ab b) a2 +b2 +1≥ab+a+b ⇔2(a2 +b2 +1 )>2(ab+a+b) ⇔a2 −2ab+b2 +a2 −2a+1+b2 −2b+1≥0 ⇔(a−b)2 +(a−1)2 +(b−1)2 ≥0 Bất đẳng thức cuối đúng.  Vậy a2 +b2 +1≥ab+a+b Dấu bằng xảy ra khi a=b=1  c) a2 +b2 +c2 +d2 +e2 ≥a(b+c+d +e) ⇔ 4( a2 +b2 +c2 +d2 +e2 )≥4a(b+c+d+e)  ⇔ (a2 −4ab+4b2) (+ a2 −4ac+4c2) (+ a2 −4ad +4d2) (+ a2 −4ac+4c2)≥0 ⇔ (a−2b)2 +(a−2c)2 +(a−2d)2 +(a−2c)2 ≥0 Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2:  Chứng minh rằng: (a10 +b10)(a2 +b2) (≥ a8 +b8)(a4 +b4) Giải: (a10 +b10)(a2 +b2) (≥ a8 +b8)(a4 +b4) ⇔ a12 +a10b2 +a2b10 +b12 ≥a12 +a8b4 +a4b8 +b12 ⇔ a8b2(a2 −b2)+a2b8(b2 −a2)≥0⇔ a2b2(a2-b2)(a6-b6)≥ 0 ⇔ a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) ≥ 0 Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y + 2yxChứng minh ≥2 2Giải: ≥2 2 vì :x〉y nên x- y 〉 0 ⇒x2+y2≥ 2 2( x-y)  ⇒ x2+y2- 2 2 x+2 2y ≥0⇔ x2+y2+2- 2 2 x+2 2y -2 ≥0 ⇔ x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy ≥0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2 ⇒(x-y- 2)2 ≥ 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4:

Answer

1 .... ....2+ ≥nTóm lại các b−ớc để chứng minh A≥B tho định nghĩa  B−ớc 1: Ta xét hiệu H = A - B  B−ớc 2:Biến đổi H=(C+D)2hoặc H=(C+D)2+….+(E+F)2 B−ớc 3:Kết luận A ≥ B Ví dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99)  Chứng minh ∀m,n,p,q ta đều có  m2+ n2+ p2+ q2+1≥ m(n+p+q+1)  Giải:   − +2 204 1+≥⇔ m mm mpm mnpm mqq4  − (luôn đúng) 2 1 +⇔ m ≥m nm pm q22 0n m=−p mmDấu bằng xảy ra khi ⇔ ⇔1q m22 ph−ơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi t−ơng đ−ơng L−u ý:  Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh t−ơng đ−ơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đ` đ−ợc chứng minh là đúng.  Chú ý các hằng đẳng thức sau:  (A+B)2 = A2 +2AB+B2 (A+B+C)2 = A2 +B2 +C2 +2AB+2AC+2BC (A+B)3 = A3+3A2B+3AB2 +B3 Ví dụ 1:  Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng  a)  b aba + ≥ b)a2 +b2 +1≥ab+a+b c)a2 +b2 +c2 +d2 +e2 ≥a(b+c+d+e) a)  b ab ⇔4a2 +b2 ≥4ab ⇔4a2 −4a+b2 ≥0 ⇔(2a−b)2 ≥0 (bất đẳng thức này luôn đúng) 2  (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)  Vậy b ab b) a2 +b2 +1≥ab+a+b ⇔2(a2 +b2 +1 )>2(ab+a+b) ⇔a2 −2ab+b2 +a2 −2a+1+b2 −2b+1≥0 ⇔(a−b)2 +(a−1)2 +(b−1)2 ≥0 Bất đẳng thức cuối đúng.  Vậy a2 +b2 +1≥ab+a+b Dấu bằng xảy ra khi a=b=1  c) a2 +b2 +c2 +d2 +e2 ≥a(b+c+d +e) ⇔ 4( a2 +b2 +c2 +d2 +e2 )≥4a(b+c+d+e)  ⇔ (a2 −4ab+4b2) (+ a2 −4ac+4c2) (+ a2 −4ad +4d2) (+ a2 −4ac+4c2)≥0 ⇔ (a−2b)2 +(a−2c)2 +(a−2d)2 +(a−2c)2 ≥0 Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2:  Chứng minh rằng: (a10 +b10)(a2 +b2) (≥ a8 +b8)(a4 +b4) Giải: (a10 +b10)(a2 +b2) (≥ a8 +b8)(a4 +b4) ⇔ a12 +a10b2 +a2b10 +b12 ≥a12 +a8b4 +a4b8 +b12 ⇔ a8b2(a2 −b2)+a2b8(b2 −a2)≥0⇔ a2b2(a2-b2)(a6-b6)≥ 0 ⇔ a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) ≥ 0 Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y + 2yxChứng minh ≥2 2Giải: ≥2 2 vì :x〉y nên x- y 〉 0 ⇒x2+y2≥ 2 2( x-y)  ⇒ x2+y2- 2 2 x+2 2y ≥0⇔ x2+y2+2- 2 2 x+2 2y -2 ≥0 ⇔ x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy ≥0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2 ⇒(x-y- 2)2 ≥ 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: