 TRƯỚC HẾT TA CHỨNG MINH MỘT BÀI TOÁN PHỤ

Bài 8.  Trước hết ta chứng minh một bài toán phụ: Cho ABC, _{A 90} . Chứng minh rằng BC

²

 AB

²

AC

²

. Giải (h.1.13). Vẽ BH AC. Vì _{A 90} nên H nằm trên tia đối của tia AC. Xét HBC và HBA vuông tại H, ta có:

  ^{ }

²

2

2

2

2

2

BC HB HC  AB HA  HA AC        .

2

2

2

2

2 .

2

2

2 .AB HA HA AC HA AC AB AC HA ACVì HA AC. 0 nên BC

²

 AB

²

AC

²

( dấu “=” xảy ra khi H A tức là khi ABC vuông).  Vận dụng kết quả trên để giải bài toán đã cho Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác lồi (h.1.14) Ta có:    _{A B C D   360.} Suy ra trong bốn góc này phải có một góc lớn hơn hoặc bằng 90, giả sử _{A 90 .} Xét ABD ta có BD

²

 AB

²

AD

²

10

²

10

²

200 suy ra BD 200, do đó BD14. Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác lõm (h.1.15) Nối CA, Ta có:   ACD ACB BCD  ₃₆₀. Suy ra trong ba góc này phải có một góc lớn hơn hoặc bằng 120. Giả sử _{ACB120, do đó} _ACB là góc tù Xét ACB có AB

²

AC

²

BC

²

10

²

10

²

200. Suy ra AB 200 AC14. Vậy luôn tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14.