TRONG KHÔNG GIAN OXYZ, CHO MẶT CẦU (S)

câu 47. - Đề thi thử THPT Quốc Gia 2021 môn Toán của Sở GD&ĐT Ninh Bình – lần 2 câu 47. - Đề thi thử THPT Quốc Gia 2021 môn Toán của Sở GD&ĐT Ninh Bình – lần 2
Toán Đề thi thử THPT Quốc Gia 2021 môn Toán của Sở GD&ĐT Ninh Bình – lần 2
Câu 47.Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x

2

+y

2

+z

2

= 4.zTrên mặt cầu lấy ba đường tròn(O

1

),(O

2

),(O

3

)cùng bán kính1sao cho chúng đôi một tiếp xúc (có điểm chung duy nhất) nhưhình vẽ. Gọi O

4

(a;b;c) là tâm đường tròn bán kính nhỏ hơn 1,tiếp xúc với cả ba đường tròn trên. Nếu O

1

thuộc tia Oz vàO

2

∈(xOz), O

2

có hoành độ dương thì a+b+cgần nhất vớiygiá trị nào sau đâyxA 3,25. B 3,24.C 3,22. D 3,23.Lời giải.

z

O

1

M

O

4

K

N

L

O

2

O

y

x

Gọi tâm ba đường tròn bán kính 1 là O

1

, O

2

, O

3

. Tâm đường tròn cần tìm là O

4

. Dễ thấy, mặtcầu đã cho có tâm O(0; 0; 0), bán kính R = 2. Gọi M là giao điểm của (O

1

) và (O

2

). Khi đóM O

1

= M O

2

= 1, OM = 2 nên OO

1

= OO

2

= O

1

O

2

= √3. Dễ thấy, OO

4

là trục của tam giácO

1

O

2

O

3

. Gọi L là tâm của tam giác O

1

O

2

O

3

, khi đó O

2

L = 1 và OL = √2. Gọi K là giao điểmcủa (O

2

) và (O

4

), N là hình chiếu của K trên O

2

L. Để ý rằng OO

2

⊥O

2

K nên hai tam giác vuôngOO

2

L và O

2

KN đồng dạng. Suy raKN√3.√3 ⇒OO

4

=√√3 ⇒KN = 12 + 1O

2

O = 1O

2

L = O

2

K√3!Từ các dữ kiện trên, ta dễ dàng tính được O

1

0; 0;√3, O

2

3. Khi đó, tọa độ của O

3

là2; 0;2Trang 14− Mã đề 001nghiệm dương của hệ

2

x

2

+y

2

+z−√= 3x= 1!

2

⇒y=√+y

2

+ z−x− 3z =x

2

+y

2

+z

2

= 32 .√2√2 = zSuy ra L 2. Do đó đường thẳng OL có phương trình x3 ;2√3;2 = y2√3. Do O

4

∈ OLnên O

4

2t;√2t; 2√3t,t >0, do đó√6√3 =OO

4

=√18t

2

= 3√2t ⇒t = 6 +√18 .3 +√6 +√2 +√. Vậy a+b+c≈3,22879 gần 3,23nhất.Do đóO

4

9 ;2√9 ;3√