Câu 8: Trong không gian Oxyz. Mặt phẳng (P): 2x + by + cz = 0 đi qua gốc tọa
độ O, vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x + y – z – 1 = 0 và tạo với trục Oy một
góc lớn nhất. Tính b + c?
A. 6 B. -6 C. -7 D. 7
II. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ
Bài Toán 6: Viết phương trình đường thẳng
d chứa trong (P), đi qua A và cách B cho
trước một khoảng lớn nhất.
Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi, theo các bước.
Bước 1: Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên d, H là hình chiếu vuông góc
của B trên (P).
Bước 2: Ta có d(B, d) = BK BA (không đổi). Vậy d(B, d) lớn nhất là BA khi
K A hay d là đường thẳng đi qua A và có một VTCP u n AB
P;
.
Bước 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua A và có một VTCP u n AB
P;
Ví dụ 6: Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1; -1), nằm trong mặt phẳng (P): 2x –
y – z = 0 và cách điểm B(0; 2; 1) một khoảng lớn nhất. Biết đường thẳng d đi
qua điểm E(2; b; c). Tính b + c?
A. -2 B. 4 C. 2 D. 3
Bài giải:
+) Ta có: AB ( 1;1; 2)
+) Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên d, H là hình chiếu vuông góc của B
trên (P).
+) Ta có d(B, d) = BK BA = 6 . Vậy d(B, d) lớn nhất là 6 khi K A hay
d là đường thẳng đi qua A và có một VTCP u n AB
P; ( 1; 3;1)
Phương
x t
1
y t
1 3
trình tham số của d là:
E(2; 4; -2)
z t
Chọn đáp án C .
Bài Toán 7: Viết phương trình đường
thẳng d chứa trong (P), đi qua A và
cách B cho trước một khoảng nhỏ nhất.
Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi, theo các bước:
Bước 2: Ta có d(B, d) = BK BH (không đổi). Vậy d(B, d) nhỏ nhất là BH khi
K H hay d là đường thẳng AH.
Bước 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua A, H.
Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + z = 0 và điểm
M(1; -3; 1). Đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ O, nằm trong mặt phẳng (P) và
khoảng cách từ M đến đường thẳng đó nhỏ nhất. Gọi u = (1; a; b)
là một véc tơ
chỉ phương của đường thẳng (d). Tính a + b?
A. -3 B. 3 C. 2 D. -2
+) Gọi là đường thẳng qua M và vuông góc với (P) có hương trình tham
1 2
3
số là:
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P) H(-1; -2; 0).
+) Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên d. Ta có d(M, d) = MK MH
(không đổi). Vậy d(M, d) nhỏ nhất là MH khi K H hay d là đường thẳng OH.
d qua O, H có phương trình tham số là: 2
0
z
Bài Toán 8: Viết phương trình đường
thẳng d đi qua A, nằm trong mặt phẳng
(P) và tạo với đường thẳng d’ cho trước
một góc nhỏ nhất.
Hướng dẫn: Cách 1: Khai thác đại lượng không đổi.
Bước 1: Gọi đường thẳng qua A song song với d’, lấy điểm M cố định trên
khác A.
Bước 2: Gọi H, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên (P), d. Ta góc
giữa d và d’ là góc MAI ˆ : sin MAI ˆ MI MH
(không đổi). Vậy góc giữa d và d’
MA MA
nhỏ nhất khi sin MAI ˆ nhỏ nhất khi I H hay d là đường thẳng qua A, H.
Cách 2: Dùng công thức góc giữa hai mặt phẳng:
cos( , ') cos( , ) .
d d u u u u
d d'
u u
Ví dụ 8: Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O, nằm trong mặt phẳng (P): 2x + y –
x y z
z = 0 và tạo với đường thẳng d’: 1 1
2 1 2
một góc nhỏ nhất. Biết đường
thẳng (d) đi qua điểm E(a; b; 13). Tính a + b?
A. -2 B. -5 C. 3 D. 4
Bài giải:
+) Gọi đường thẳng qua O song song với d’ có hương trình tham số là:
2
. Lấy điểm M (2; -1; 2) trên .
+) Gọi ’ là đường thẳng qua M và vuông góc với (P) ’ có hương trình tham
2 2
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P) H(5/3; -7/6;
13/6).
+) Gọi I lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên d. Ta góc giữa d và d’ là
góc MOI : sin MOI MI MH
(không đổi). Vậy góc giữa d và d’ nhỏ nhất khi
MO MO
sin MOI nhỏ nhất khi I H hay d là đường thẳng qua O, H.
10
7
d qua O, H có phương trình tham số là:
E(10; -7; 13)
13
Chọn đáp án C.
Bài tập tự luyện
Bạn đang xem câu 8: - Toan12_Long_THPTLuuHoang_
