A) TM MI^EN MA TRONG DO NGHI^E.M CU'A BAI TOAN CAUCHY CU'A PHU.O.N...

30)

a) Tm mi^en ma trong do nghi^e.m cu'a bai toan Cauchy cu'a phu.o.ng trnh

sau d^ay t^on ta.i va duy nh^at

^y

⁰

^=√x−y.

b) Tm tch ph^an t^o'ng quat cu'a cac phu.o.ng trnh sau:

^(x

²

^−y

²

^{)dy−2xydx= 0.}HD gia’i:

a) Bai toan Cauchy co duy nh^at nghi^e.m trong mi^en

D={(x, y)∈R

²

|x−y≥δ}

vo.i

^{δ >0}

tuy y.

b) D - u.a phu.o.ng trnh v^e da.ng

_dx^{dy =} _x

2

^xy−y

²

. D - ^ay la phu.o.ng trnh da'ng c^ap, ta da.t

z= yx

. Khi do phu.o.ng trnh tr^en tro.' thanh

xz

⁰

= z(1 +z

²

)1−z

²

.

Hay

⁽¹z − 2z1 +z

²

)dz = dxx

.

Suy ra nghi^e.m cu'a phu.o.ng trnh nay la

_{1 +}^z_z

2

=Cx, C 6= 0.

V^a.y nghi^e.m cu'a phu.o.ng trnh da~ cho la

^x

²

^+y

²

^=C

¹

^{y, C}

¹

^{6= 0.}