PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN NẾU KHỐI ĐA DIỆN ( H ) LÀ HỢ...

Question

3.3. Phân chia và lắp ghép khối đa diện Nếu khối đa diện  ( H )  là hợp của  ( H 1 )  và  ( H 2 ) , sao cho  ( H 1 )  và  ( H 2 )  không có điểm chung trong thì ta nói có thể chia  ( H )  thành hai khối đa diện  ( H 1 )  và ( H 2 ) , hay có thể lắp ghép được hai khối đa diện  ( H 1 )  và  ( H 2 )  thành khối đa diện  ( H ) . II. Khối đa diện lồi – Khối đa diện đều •  Khối đa diện  ( H )  được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của  ( H )  luôn thuộc  ( H )•  Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất      * Mỗi mặt của nó là một đa giác đều  p  cạnh.      * Mỗi đỉnh của chúng là đỉnh chung của đúng  q  mặt.      * Khối đa diện đều đó được gọi là khối đa diện đều loại    p, q . Gọi  D M C , ,  lần lượt là số đỉnh, số cạnh, số mặt của khối đa diện lồi  ( H )  thì đặc số Euler của  ( H )  là   ( H ) = D − C + M = 2  (định lý Euler). III. Thể tích khối đa diện • Thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là:  1V = 3 Bh .  Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là:  V = Bh . • • Thể tích của khối hộp có diện tích đáy B và chiều cao h là:  V = Bh .  Thể tích khối hộp chữ nhật :  V = abc .  Thể tích khối lập phương:  V = a 3 .  Tỉ số thể tích:  Nếu  A B C ', ', '  thuộc các cạnh  SA SB SC , ,  của hình chóp  V SA SB SC'. '. 'S A B C.S ABC  thì :  . ' ' '. .V = SA SA SC . S ABCTruy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÓAN. Vì phần này chỉ có mục đích giới thiệu cho học sinh các khái niệm cơ bản của khối đa diện và một số phép biến hình trong không gian, do đó trong các dạng tóan dưới đây chỉ đề cập vấn đề vận dụng phép biến hình để giải một số dạng tóan hình học không gian .Vấn đề 1. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CẠNH, ĐỈNH VÀ MẶT HÌNH ĐA DIỆN, CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC Phương pháp: •  Dựa vào định nghĩa hình đa diện •  Dựa vào định lí Euler về mối quan hệ giữa số đỉnh, số cạnh và số mặt. •  Dựa vào giả thiết của bài toán ,chọn một phép biến hình thích hợp và vận dụng các tính chất của phép biến hình này để giải. •  Để tìm tập hợp điểm M ,ta tìm một phép biến hình f biến M thành điểm N ,trong đó tập hợp của N đã biết hay dễ tìm .Khi đó tập hợp điểm M là ảnh của tập hợp điểm N qua phép biến hình f. Ví dụ 1.1.1 Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng các mặt của nó phải là một số chẵn. Hãy chỉ ra những khối đa diện như thế với số mặt bằng 4,6,8,10. Lời giải. Gọi số cạnh và số mặt của đa diện lần lượt là  c  và  m  . Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh của đa diện là = 3m  = c 3m 2c2 3m chia hết cho 2 mà 3 không chia hết cho 2 nên  m  phải chia hết cho 2 , nghĩa là m là số chẵn. *Khối đa diện  ABCD  có 4 mặt mà mỗi mặt là một tam giác . *Xét tam giác  BCD  và hai điểm  A,E  ở về hai phía của mặt phẳng  ( BCD )  . Khi đó ta có khối lục diện  ABCDE  có 6 mặt là những tam giác . *Khối bát diện  ABCDEF  có 8 mặt là những tam giác . *Xét ngũ giác  ABCDE  và hai điểm  M,N  ở về hai phía của mặt phẳng chứa ngũ giác. Khi đó ta có khối thập diện  MABCDEN  có 10 mặt là những tam giác . Ví dụ 2.1.1 Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó phải là một số chẵn. Gọi  k  là số đỉnh của đa diện và  C  là số cạnh của đa diện . Ta có:  -Tại đỉnh thứ 1 có  ( 2n1+  1 )  mặt nên có  ( 2n1+ 1 )  cạnh qua đỉnh thứ nhất. -Tại đỉnh thứ hai có  ( 2n2+ 1 )  mặt nên có  ( 2n2+ 1 )  cạnh qua đỉnh thứ hai. ……….. -Tại đỉnh thứ k có  ( 2nk+ 1 )  mặt nên có  ( 2nk+ 1 )  cạnh qua đỉnh thứ  k . Mặt khác vì mỗi cạnh đi qua hai đỉnh nên ta có  ( ) ( ) ( )= + + + + + +2C 2n 1 2n 1 ... 2n 11 2 k( )= + + + +k 2 n n .... n  =  − + + + k 2 C n n .... n k  là số chẵn (đpcm). Ví dụ 3.1.1 Cho hình chóp  S.ABCD ,  SA  vuông góc với mặt phẳng  ( ABCD ) , đáy ABCD  là hình thoi cạnh a. Gọi  H,K  lần lượt là hình chiếu vuông góc của  A  lên SB  và  SD ;  G  là trọng tâm của tam giác  SAC . Chứng minh ba điểm  H,G,Kthẳng hàng. ( ) SA ABS⊥  ⊥SA ABCD  ⊥SA AD   vuông tại  A . SAB , SADXét tam giác vuông  SAB , ta có:       = + = + =2 2 2 2 2 2SB SA AB 2a a 3aKGSH SA 2. SA SH.SB      2 =  = 2 =H2SB SB 3DChứng minh tương tự ,ta cũng có : ASK = 2ISD 3 . BCGọi  I  là giao điểm của  AC  và  BD thì  I  là trung điểm của  AC  nên  G  thuộc  SIvà  SG = 2SI 3 . Gọi  f   là phép vị tự tâm  S , tỉ số  2

Answer

3.3. Phân chia và lắp ghép khối đa diện Nếu khối đa diện  ( H )  là hợp của  ( H 1 )  và  ( H 2 ) , sao cho  ( H 1 )  và  ( H 2 )  không có điểm chung trong thì ta nói có thể chia  ( H )  thành hai khối đa diện  ( H 1 )  và ( H 2 ) , hay có thể lắp ghép được hai khối đa diện  ( H 1 )  và  ( H 2 )  thành khối đa diện  ( H ) . II. Khối đa diện lồi – Khối đa diện đều •  Khối đa diện  ( H )  được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của  ( H )  luôn thuộc  ( H )•  Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất      * Mỗi mặt của nó là một đa giác đều  p  cạnh.      * Mỗi đỉnh của chúng là đỉnh chung của đúng  q  mặt.      * Khối đa diện đều đó được gọi là khối đa diện đều loại    p, q . Gọi  D M C , ,  lần lượt là số đỉnh, số cạnh, số mặt của khối đa diện lồi  ( H )  thì đặc số Euler của  ( H )  là   ( H ) = D − C + M = 2  (định lý Euler). III. Thể tích khối đa diện • Thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là:  1V = 3 Bh .  Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là:  V = Bh . • • Thể tích của khối hộp có diện tích đáy B và chiều cao h là:  V = Bh .  Thể tích khối hộp chữ nhật :  V = abc .  Thể tích khối lập phương:  V = a 3 .  Tỉ số thể tích:  Nếu  A B C ', ', '  thuộc các cạnh  SA SB SC , ,  của hình chóp  V SA SB SC'. '. 'S A B C.S ABC  thì :  . ' ' '. .V = SA SA SC . S ABCTruy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÓAN. Vì phần này chỉ có mục đích giới thiệu cho học sinh các khái niệm cơ bản của khối đa diện và một số phép biến hình trong không gian, do đó trong các dạng tóan dưới đây chỉ đề cập vấn đề vận dụng phép biến hình để giải một số dạng tóan hình học không gian .Vấn đề 1. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CẠNH, ĐỈNH VÀ MẶT HÌNH ĐA DIỆN, CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC Phương pháp: •  Dựa vào định nghĩa hình đa diện •  Dựa vào định lí Euler về mối quan hệ giữa số đỉnh, số cạnh và số mặt. •  Dựa vào giả thiết của bài toán ,chọn một phép biến hình thích hợp và vận dụng các tính chất của phép biến hình này để giải. •  Để tìm tập hợp điểm M ,ta tìm một phép biến hình f biến M thành điểm N ,trong đó tập hợp của N đã biết hay dễ tìm .Khi đó tập hợp điểm M là ảnh của tập hợp điểm N qua phép biến hình f. Ví dụ 1.1.1 Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng các mặt của nó phải là một số chẵn. Hãy chỉ ra những khối đa diện như thế với số mặt bằng 4,6,8,10. Lời giải. Gọi số cạnh và số mặt của đa diện lần lượt là  c  và  m  . Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh của đa diện là = 3m  = c 3m 2c2 3m chia hết cho 2 mà 3 không chia hết cho 2 nên  m  phải chia hết cho 2 , nghĩa là m là số chẵn. *Khối đa diện  ABCD  có 4 mặt mà mỗi mặt là một tam giác . *Xét tam giác  BCD  và hai điểm  A,E  ở về hai phía của mặt phẳng  ( BCD )  . Khi đó ta có khối lục diện  ABCDE  có 6 mặt là những tam giác . *Khối bát diện  ABCDEF  có 8 mặt là những tam giác . *Xét ngũ giác  ABCDE  và hai điểm  M,N  ở về hai phía của mặt phẳng chứa ngũ giác. Khi đó ta có khối thập diện  MABCDEN  có 10 mặt là những tam giác . Ví dụ 2.1.1 Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó phải là một số chẵn. Gọi  k  là số đỉnh của đa diện và  C  là số cạnh của đa diện . Ta có:  -Tại đỉnh thứ 1 có  ( 2n1+  1 )  mặt nên có  ( 2n1+ 1 )  cạnh qua đỉnh thứ nhất. -Tại đỉnh thứ hai có  ( 2n2+ 1 )  mặt nên có  ( 2n2+ 1 )  cạnh qua đỉnh thứ hai. ……….. -Tại đỉnh thứ k có  ( 2nk+ 1 )  mặt nên có  ( 2nk+ 1 )  cạnh qua đỉnh thứ  k . Mặt khác vì mỗi cạnh đi qua hai đỉnh nên ta có  ( ) ( ) ( )= + + + + + +2C 2n 1 2n 1 ... 2n 11 2 k( )= + + + +k 2 n n .... n  =  − + + + k 2 C n n .... n k  là số chẵn (đpcm). Ví dụ 3.1.1 Cho hình chóp  S.ABCD ,  SA  vuông góc với mặt phẳng  ( ABCD ) , đáy ABCD  là hình thoi cạnh a. Gọi  H,K  lần lượt là hình chiếu vuông góc của  A  lên SB  và  SD ;  G  là trọng tâm của tam giác  SAC . Chứng minh ba điểm  H,G,Kthẳng hàng. ( ) SA ABS⊥  ⊥SA ABCD  ⊥SA AD   vuông tại  A . SAB , SADXét tam giác vuông  SAB , ta có:       = + = + =2 2 2 2 2 2SB SA AB 2a a 3aKGSH SA 2. SA SH.SB      2 =  = 2 =H2SB SB 3DChứng minh tương tự ,ta cũng có : ASK = 2ISD 3 . BCGọi  I  là giao điểm của  AC  và  BD thì  I  là trung điểm của  AC  nên  G  thuộc  SIvà  SG = 2SI 3 . Gọi  f   là phép vị tự tâm  S , tỉ số  2