CÂU 5. (0 ĐIỂM)TRÊN BẢNG HÌNH CHỮ NHẬT KÍCH THƯỚC M N × (M HÀNG VÀ N...

1.0 điểm Ký hiệu số ghi ở ô (i;j) là a

và gọi S = {( ; ) : i j a _ij >0} . Gọi r c _i , _j là tổng các số ghi

trên hàng i và cột j. Vậy r _i = ⇔ c _j ( ; ) i j ∈ S

a a

∑ = ∑ ^0.25

ij ij

Khi đó ta có

r c

i j S i i j S j

VT a a m

m 1 m

= ∑ = ∑ ∑ = ^0.25

ij

Tính tổng từng vế:

r r

i j S i j j i

VP a a n

1

n n

c c

i j S i i i j

Suy ra m = n 0.25

V

(Cách2) + Nếu trên mỗi hàng, mỗi cột có tổng các số dương đều bằng s thì ms = ns ⇒ m = n 0.25

+ Nếu m = 1 thì trên mỗi cột có đúng một số dương và tổng các số dương trên mỗi cột

này bằng s = ns (bằng tổng các số dương trên hàng). Do đó n = 1 0.25

+ Trong trường hợp tổng quát, gọi r < m là số hàng có tổng bằng s, còn trên các hàng

khác có tổng khác. Do mỗi cột, mà có giao với r hàng đó tại ô dương có tổng bằng s, nên

giả sử có c cột có tổng bằng s. Thực hiện việc đánh số lại các hàng, cột sao cho r hàng

đầu và c cột đầu có tổng bằng s (không làm thay đổi bản chất của bảng). Khi đó, những ô

0.5

của r hàng đầu, không nằm trong c cột đầu và những ô của c cột đầu không nằm trong r

hàng đầu phải chứa số 0. Vậy bảng con r c × (gồm giao của r hàng đầu và c cột đầu thỏa

mãn). Suy ra r = c. Nhưng, phần còn lại của bảng, sau khi bỏ đi r hàng đầu và c cột đầu

(kích thước ( m r − × − ) ( n c ) cũng thỏa mãn. Do đó, bằng quy nạp, được m = n.

Hết