(ĐỀ THI CAO ĐẲNG NĂM 2009). CHO HÌNH CHĨP TỨ GIÁC ĐỀU S.ABCD CĨ...

Bài 1 (Đề thi Cao đẳng năm 2009). Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ AB = a, SA = a 2 . Gọi M, N,

P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuơng gĩc với

đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP.

z Giải Gọi O là tâm của ABCD. Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ với S

a ;0),



a ;0;0), D(0; 2

a ;0;0), A( 2

O(0;0;0), C( 2

2

SO



SA



OA



a ).

a ) (

²

²

6



a ;0), S(0;0; 6

B(0; 2

M

M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh



a ;0; 6

a ),

N

SA, SB và CD



M( 2

y

4

A 

a ; 6

a ; 2

a ), P( 2

D

a ;0).

N(0; 2

Khi đĩ

O P 

2 2

a a

,

( ; ;0)

MN

 B C

4 4

x 

2

²

2

²

6

2 2 6

a a a

.

       

MN SP MN SP

. 0.( ) 0

( ; ; )

SP

 

4 4 2

16 16 2



Mặt khác, ta lại cĩ 2 6

( ;0; )

AN

 

, 2 2 6

AP



, 3 2 2

AM



2 4 4

  

1

³

6

  

3

6

AM AP AN a

V



AM AP AN



a

     

, . .

    

, . 0

^

AMNP

8

6 48

Lưu ý: Đáp án chính thức cho phương án tính thể tích tứ diện AMNP gián tiếp thơng qua thể tích tứ diện

ABSP và thể tích khối chĩp S.ABCD. Cách tính trên đây bằng phương pháp tọa độ là hồn tồn trực tiếp, dễ

định hướng. Việc tọa độ hĩa cĩ thể lấy một đỉnh của đáy làm gốc tọa độ (cần kẻ thêm đường thẳng qua đỉnh

và song song với SO).