(3 ĐIỂM) CHO ABC NHỌN (AB < AC) NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN (O) ,...

Bài 7. (3 điểm) Cho

ABC

nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) , các đường cao BM và CN

cắt nhau tại H . Hai đường thẳng MN và BC cắt nhau tại D.

a) Chứng minh: tứ giác BNMC;ANHM là các tứ giác nội tiếp (1.5đ)

b) Chứng minh:DN.DM=DB.DC (1đ)

c) Đường thẳng DA cắt đường tròn (O) tại E (E khác A). Tia EH cắt BC tại I. Chứng minh:

OI



BC .

(0.5đ)

A

E

M

N

O

H

D

B C

I

K

a) Chứng minh: tứ giác BNMC;ANHM là các tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BNMC có :

 ₉₀

⁰

BNC

( CN là đường cao của

ABC

)

 90

⁰

BMC

(BM là đường cao của

ABC

)

  _{BNC BMC}

₍₌₉₀

⁰

₎



tứ giác BNMC là tứ giác nội tiếp (0.75đ)

Xét tứ giác ANHM có :

_{ANH 90}

⁰

( CN là đường cao của

ABC

)

_{AMH 90}

⁰

(BM là đường cao của

ABC

)

  _{ANH AMH 90}

⁰

_90

⁰

_180

⁰



tứ giác ANHM là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 góc đối bù nhau) (0.75đ)

b) Chứng minh:DN.DM=DB.DC

Xét

DNB

và

DCM

có :

 BDN MDC

(góc chung)

 DNB DCM

(tứ giác BNMC nội tiếp)

 DNB

đồng dạng với

DCM

(g.g)

(0.5đ)

 DN DBDC  DM

DN.DM = DB.DC

(0.5đ)

c) Đường thẳng DA cắt đường tròn (O) tại E (E khác A). Tia EH cắt BC tại I. Chứng minh: OI



BC .

(0.5đ)

Kéo dài tia EH cắt (O) tại K(K khác E)

HS chứng minh:

DEB

đồng dạng với

DCA

(g.g)

Suy ra:

DE DBDC  DA

Suy ra:

DE DA DB DC.  .

Mà

DN DM. DB DC.

(cmt)

Suy ra:

DE DA DN DM.  .

HS chứng minh:

DEN

đồng dạng với

DMA

(c.g.c)

 _{DNE DAM} _

Suy ra: AENM là tứ giác nội tiếp

Mà ANHM là tứ giác nội tiếp (cmt)

Suy ra 5 điểm : A,E,N,H,M cùng thuộc một đường tròn (0,25đ)

Suy ra tứ giác AEHM nội tiếp

Suy ra

 _{AEH AMH 180}

⁰

Mà

_{AMH 90}

⁰

Suy ra :

AEH 90

⁰

Suy ra :

AEK

vuông tại E

Mà

AEK

nội tiếp (O)

Suy ra AK là đường kính của (O)

HS chứng minh BHCK là hình bình hành

Suy ra I là trung điểm BC

Suy ra OI vuông góc BC(liên hệ đường kính dây cung) (0,25đ)