(3,0 ĐIỂM) A. TÌM NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Question

Câu 3 (3,0 điểm)    a. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x2  2x y   y 5x   2 0 .   b. Trong một hộp có 2012 viên sỏi. Hai người A và B tham gia trò chơi bốc sỏi như sau: Mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất 1 viên và nhiều nhất 30 viên sỏi. Người nào bốc được viên sỏi cuối cùng sẽ thắng cuộc. Hỏi ai luôn thắng cuộc và chỉ ra thuật chơi.

Accepted Answer

Câu Nội dung Điểm Câu 1 a (1 điểm) Điều kiện: 0 4 *   9 x x x         0,25  2 2  x 9 3  x 3 2 2 x 3 1 P x x x x           0,25             2 9 3 3 2 1 2 2 2 3 2 3 x x x x x x x x x x x                          1 2 1 . 2 3 3 x x x x x x         0,5 b (1 điểm) Với điều kiện (*) 4 1 3 P   x  0,25 Với x  , để P  thì x      3  1; 2; 4  0,25  4; 2; 5; 1; 7   x  0,25  1;4; 16; 25;49    x 0,25 Câu 2 a (1 điểm) Ta có   '  m  1   2  m   3  m 2  3 m  4 0,5 = 3 2 7 0, . 2 4 m m            0,5 b (1 điểm) Ta có 1 2   1 2 2 1 3 x x m x x m         0,25   2   2   2 2 2 1 2 1 2 2x 1 2 4 1 2 3 4 10 10 x  x  x  x  x  m   m   m  m  0,25 = 5 2 15 15 2 . 2 4 4  m         0,25 Vậy x 1 2  x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất là 15 4 khi 5 . m  4 0,25 Câu 3 a (1,5 điểm) Phương trình đã cho tương đương với  2x 1   y  3x 2  5x  2 0,25 Vì x  nên 2x 1 0   do đó 2 2 3x 5x 2 12x 20x 8 1 4 4 6x 7 2x 1 2x 1 2x 1 y     y     y       0,25 Do x y ,  nên 1 2x 1  là số nguyên, do đó 2x 1 1   hoặc 0,5 B C M A' B' C' 2x 1    1 Từ đó tìm được 2 nghiệm    1;0 , 0; 2 .   0,5 b (1,5 điểm) Ta thấy 2012    1 30 .64   28 0,5 Người A đi trước sẽ thắng cuộc bằng cách 0,5 Lần đầu bốc 28 viên sỏi. Những lần sau bốc số viên sỏi cộng với số viên sỏi người B vừa bốc bằng 31 viên. 0,5 Câu 4 (1 điểm) + Ta có x 2  y 2   x  y  x  y  . Đây là tích của hai số nguyên có cùng tính chẵn, lẻ. Suy ra x 2  y 2 hoặc là số lẻ hoặc khi là số chẵn thì sẽ chia hết cho 4. 0,5 + Ngược lại - Nếu n lẻ thì n  2 k   1  k  1  2  k 2 . - Nếu n chia hết cho 4 thì n  4 k   k  1   2  k  1  2 . Vậy điều kiện cần và đủ để một số biểu diễn dưới dạng hiệu bình phương của hai số nguyên là: Số đó là số lẻ hoặc chia hết cho 4. 0,5 + Trong các số tự nhiên từ 1 đến 2013 có 1007 số lẻ và 503 số chia hết cho 4. Vậy tổng số có 1510 số 0,5 Câu 5 a (1 điểm) Gọi 1 2 3 ; ; ; ABC MBC MCA MAB S  S S  S S  S S  S 0,25 1 2 3 1 2 3 ' ' ' AA ' ' ' 1 MA MB MC S S S S S S BB CC S S S S          0,75 b (1 điểm) Ta có 1 2 3 1 1 1 AA ' ' AA ' 1 1 ' ' ' MA MA S S S S S MA MA MA S S S           Tương tự ta có 3 1 1 2 2 3 ' ; ' MB S S MC S S MB S MC S     0,5 Do đó 2 3 3 1 1 2 2 1 3 2 1 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 S S S S S S S S S S S S 6 f S S S S S S S S S                                0,25 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi S 1  S 2  S 3  M là trọng tâm của tam giác ABC . 0,25 Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác so với đáp án mà vẫn đúng thì vẫn cho điểm tối đa.

(3,0 ĐIỂM) A. TÌM NGHIỆM NGUYÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Câu 3 (3,0 điểm)

a. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

3x

 2x y   y 5x   2 0 .

b. Trong một hộp có 2012 viên sỏi. Hai người A và B tham gia trò chơi bốc sỏi như

sau: Mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất 1 viên và nhiều nhất 30 viên sỏi. Người nào

bốc được viên sỏi cuối cùng sẽ thắng cuộc. Hỏi ai luôn thắng cuộc và chỉ ra thuật chơi.

Bạn đang xem câu 3 - Đề thi tuyển sinh 10 Toán chuyên tin học - Sở GD&ĐT Thái Nguyên (2012-2013)