CHO (CM) 1 3 2 (2 2 1) 3Y=3X −MX + M − X+M −M. TÌM M ĐỂ
Bài 1: Cho (Cm)
13
2
(
22
1)
3
y=3x −mx + m − x+m −m. Tìm m để:
a.
Tìm m để C cĩ điểm cực đại nẳm trên Oy
b.
Hàm số đạt CĐ và CT tại điểm cĩ hồnh độ <1
c.
Hàm số đạt CĐ và CT tại điểm cĩ hồnh độ >-1
d.
Hàm số đạt CĐ và CT tại điểm cĩ hồnh độ nằm trong
[-2;3]
e.
Hàm số đạt CĐ và CT tại điểm cĩ hồnh độ dương
f.
Hàm số đạt CĐ và CT tại điểm cĩ hồnh độ trái dấu nhau
g.
Hàm số đạt CĐ và CT tại x
1
;x
2
sao cho
(
x1
3
+x2
3
)
nhỏ nhất
Giải:
MXĐ: D=R
2
2
y =x − mx+ m −' 2 2 1' m2
1∆ = − +' 0∆ >:
X
−∞X
1
X
2
+∞
Y’
+ 0 - 0 +
CĐ
Y
CT
a.
Ycbt
Hàm số đạt cực đại tại x=0
= − =( )
2
y m' 0 0⇔ ⇔ ⇔ =2 1 0 2S m0 2< >mb.
Ycbt :
<1 0 1m m∆ > − + > 2
<' 1 0 2 2 0 0y m m m⇒ − <1 m<0( )
⇔ > ⇔ − > ⇔1 1 > < < <2c.
Ycbt
Hàm số đạt CĐ và CT tại điểm cĩ hồnh độ >-1
∆ > < >⇔ − > ⇔ + > ⇔ ⇔0<m<1 > − < − > − > −d.
Hàm số đạt CĐ và CT tại điểm cĩ hồnh độ nằm trong [-2;3]
∆ >1 − ≥ ' 2 0 + + ≥ ∀⇔ ≥ ⇔ ⇔ − < <2 4 3 0Ycbt
( ) ( )
' 3 0 m m m− + ≥ ∀2 6 8 0− ≤ ≤ − ≤ ≤2 3 2 318
− < <∆ > − < < ≤ −1 1 2 2 2⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ⇔ ≤ <Ycbt
( )
2
y m m' 0 0 2 1 0 1 > ≥0 0 2S < 2 0 > < −( )
2
' 0 0 2 2⇔ ⇔ − < ⇔ < <2 1 0∆ > ⇒ <' 0 1g.
Hàm số đạt CĐ và CT tại x1;x2 sao cho
(
x1
3
+x2
3
)
nhỏ nhất
⇔Ycbt
(
1
2
)
3
1 2
(
1
2
)
(1)
P x x x x x x= + − + →3 min− + > = −1 0⇔2 1x x m1 2
Với
3
2
Vậy ta cĩ (1)
= − − →+ =2 3 2 1 .2 minx x mP m m m1
2
⇔3
4 6 min= + →P m m =' 12 6 ' 0 2⇒ = − + ⇒ = ⇔P m P = −Bảng biến thiên:
X
−∞-1
2− 222
1
+∞Y’
- 0 + 0 -
-2
2 2Y
-
2 22
P = −khi
2=min
2 2m −2Lời bình:
Cĩ lẽ các bạn đang thắc mắc: “Tại sao lại cĩ những lời giải ngắn gọn và dễ dàng như vậy?” Bí quyết nằm ở
biểu thức y’ và dấu của nĩ. Lúc này, tất cả yêu cầu bài tốn (ycbt) liên quan đến cực trị đều nằm ẩn dưới
những dấu + - của y’. Và trực quan hơn nữa, ta thấy được hướng đi của mình qua bảng biến thiên. Tơi sẽ
minh họa kĩ câu d của ví dụ trên đây:
Ycbt : Hàm số đạt CĐ và CT tại điểm cĩ hồnh độ nằm trong [-2;3]
-
Để cĩ cực đại và cực tiểu
y’=0 cĩ hai nghiệm
⇒∆ >' 0-
SX
2
3
+∞X
−∞-2 X
1
Y’
+ 0 - 0 +
CT
− ≥yTừ đĩ ta cĩ
( )
≥. Vậy là điều kiện thứ 2 đã được biểu hiện rất rõ ràng trên bảng biến
thiên. Đây thực ra là xét quan hệ về dấu của hệ số a:
af( )
αnhưng ở đây khi ta đã biết rõ dấu
của a thì chỉ cần đặt dấu đĩ vào trước
f( )
αlà được. Đây cũng cĩ thể là bước rút gọn thời
gian mà các em nên làm, tránh khai triển mất thời gian.
b−. Rõ ràng nếu X
1
;X
2
nằm
Slà tổng hai nghiệm X
1
;X
2
của phương trình y’=0 hay bằng
-
2a−là giá trị cĩ thể rút ra dễ dàng từ
Scũng phải nằm trong đoạn này. Vì
trong
[-2;3] thì
phương trình gốc nên ta chọn giá trị trung bình này làm điều kiện.
Nút thắt thứ 3 được gỡ
bỏ.
-
Lời khuyên đĩ là: khi gặp những dạng tốn như trên học sinh hãy vẽ bảng biến thiên như
trên ra giấy nháp sau đĩ tùy theo câu hỏi mà điền các thơng số thích hợp vào bảng. từ đĩ
mọi hướng giải đều được phơi bày!
Tơi cĩ tham khảo qua một vài tài liệu của các thầy cơ giáo thì thấy phần lớn các sách đều trình bày lời
giải một cách máy mĩc, khơng trực quan, nhiều lúc cĩ thể coi là luẩn quẩn. . Ví dụ: tìm m để hàm số
y=f(x) tăng trên (1;+
∞), các thầy cơ trình bày trong sách cũng như trên lớp theo phương pháp Min-
Max, xét nhiều trường hợp… Những cách giải đĩ khơng phải là sai tuy nhiên điều đĩ đơi khi làm khĩ các
em học sinh trong quá trình tư duy tìm trường hợp, nhất là các em học sinh trung bình. Phương pháp
xét dấu trình bày trên đây vừa ngắn gọn rõ ràng lại khơng bỏ sĩt trường hợp. bài tốn được đơn giản
hĩa.
ax bx c+ +y a x b x c= + +vì dạng đạo hàm
Cách giải trên cũng áp dụng được cho hàm số
'2
' 'a b a c b c' ' 2 ' ' ' 'x x'. Trong trường hợp này, tùy biểu thức ở mẫu cĩ nghiệm hay
a x b x c' 'khơng ta đặt thêm trường hợp. Vì mẫu thức
≥0 nên khi xét dấu ta chỉ cần xét dấu tử số tương tự
như các ví dụ trình bày ở trên.
Dạng hàm số này đã khơng cịn thơng dụng ( chỉ giới thiệu sơ lược trong sách giáo khoa) nên xu
y ax b= +hướng ra đề chỉ xoay quanh 3 hàm là: bậc 3, trùng phương và
+.
a x b