CHO HÌNH BÌNH HÀNH ABCD . LẤY N AB M CD  ,  SAO CHO AN ...

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD . Lấy N AB M CD  ,  sao cho AN  CM .

a) CMR: AM / / CN .

b) CMR: DN  BM .

c) CMR: AC BD MN , , đồng quy.

Hướng dẫn giải

a) Xét tứ giác ABCD, có



AN CM

 

(do )

AN CM AB CD

 ANCM Là hình bình hành

  .

AM CN

b) Ta có:

 

BN AB AN

DM DC CM

Mà AB DC AN  ,  CM

 

BN DM

Mà BN DM  (do AB CD  )

 BNDM là hình bình hành

  _.

DN BM

c) Gọi ^{AC  BD }   ^{O (1)}

 O Là trung điểm của AC và BD

Ta có ANCM là hình bình hành; O là trung điểm của đường chéo AC

 O Là trung điểm của MN

(2)

  O MN

Từ (1) và (2)  AC BD MN , , đồng quy.

C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CB-NC

Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh tính chất hình học

1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điếm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh:

a) BE = DF và   ABE CDF  ; b) BE // DF.

2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Gọi M v à

N lần lượt là giao điểm của AI và CK với BD. Chứng minh:

a)  ADM =  CBN;

b) _{MAC NCA}   _ và IM//CN;

c) DM = MN = NB.

Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành

Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình bình hành.

3. Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD ở H và ở K. Chứng

minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

4. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Qua điểm O, vẽ đường

thẳng a cắt hai đường thẳng AD, BC lần lượt tại E, F. Qua O vẽ đưòng thẳng b cắt hai cạnh AB, CD

lần lượt tại K, H. Chứng minh tứ giác EKFH là hình bình hành.

Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy

Phương pháp giải: Vận dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành.

5. Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm

của các cạnh AB, BC, CA và L, M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC. Chứng minh rằng

các đoạn thẳng EL, FM và DN đồng quy.

6. Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên AB lấy điểm K, trên CD lấy điểm

I sao cho AK = CI. Chứng minh ba điểm K, O, I thẳng hàng.

Dạng 4.Tổng hợp

7. Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác của góc

B cắt CD ở F.

a) Chứng minh DE//BE.

b) Tứ giác DEBF là hình gì?

8. Cho tam giác ABC. Từ một điểm E trên cạnh AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F

và đường thăng song song vói AB cắt BC tại D. Giả sử AE = BF, chứng minh:

a) Tam giác AED cân;

b) AD là phân giác của góc A.

9. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA và I, K

là trung điểm các đường chéo AC, BD. Chứng minh:

a) Các tứ giác MNPQ, INKQ là hình bình hành.

b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng quy.

10. Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với

AC tại C cắt nhau ở D.

a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành.

b) Tính số đo góc _BDC  _{, biết BAC}  _{= 60°.}

11. Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Từ C vẽ CE vuông góc với AB. Nối E với trung điểm

M của AD. Từ M vẽ MF vuông góc với CE cắt BC tại N.

a) Tứ giác MNCD là hình gì?

b) Tam giác EMC là tam giác gì?

c) Chứng minh  _{BAD  2}  _{AEM .}

HƯỚNG DẪN

1.

a) Ta chứng minh được BEDF là hình bình hành  BE = DF và

  EBF CDF  .

Cách khác: AEB = CFD (c.g.c) suy ra BE = DF và   _{ABE CDF  .}

b) Vì BEDF hình bình hành  ĐPCM.

2.a) Chứng minh được AKCI là hình bình hành  ADI = CBK (c-

c-c-)  ADM = CBN (g-c-g)

b) Vì AKCI là hình bình hành  ĐPCM.

c) Từ câu a)  DM= NB. Mặt khác MN = NB (định lý 1 của đường

trung bình), từ đó suy ra ĐPCM.

3. Ta chứng minh AH//CK, AH = CK (AHD = CKB)  AHCK

là hình bình hành (cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

4. Ta có AOK = COH  OK =OH, DOE = BOF  OE = OF

 EHFK là hình bình hành.

5. Gọi I trung điểm LE. Ta có DL//EN//OB và DL = EN = 1

2 OB 

DENL là hình bình hành. Tương tự chứng minh LMEF là hình bình

hành. Từ đó suy ra EL,FM, DN đồng quy tại I.

6. Chứng minh được AKCI là hình bình hành  ĐPCM.

7.a) Ta có   _{AED EDC  và}   _{ABF  EDC  DE / / BF} (có góc ở vị

trí đồng vị bằng nhau).

b) Từ câu a) suy ra DEBF là hình bình hành.

8.a) Chứng minh BDEF là hình bình hành  ED= BF = AE  AED

cân ở E.

b) Ta có _{BAD DAC}   _ (vì cùng bằng  ADE )  AD là phân giác Â.

9. Tương tự bài 5.

10. a) Vì BHCD có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

b) Tứ giác ABCD có   _{ABD  ACD  90}

⁰

_mà  _{BAC  60}

⁰

_nên

 ₁₂₀

⁰

BDC 

11.

a) Ta có MNCD là hình bình hành.

b) Chứng minh được F trung điểm CE  EMC cân tại M.

c) Chứng minh được       AEM FME FMC CMD DCM MCB      mà

AE//MF nên   _{BAD FMD   2 CMD}  _{ 2}  _{AEM .}

C.DẠNG BÀI NÂNG CAO

 Tính chất hình bình hành