MỘT QUẢ BĨNG BÀN VÀ MỘT CHIẾC CHÉN HÌNH TRỤ CĨ CÙNG CHIỀU CAO

Câu 75. Một quả bĩng bàn và một chiếc chén hình trụ cĩ cùng chiều cao. Người ta đặt quả bĩng lên chiếc chén thấy phần ở ngồi của quả bĩng cĩ chiều cao bằng 34 chiều cao của nĩ. Gọi V

₁

, V

₂

lần lượt là thể tích của quả bĩng và chiếc chén, khi đĩ: A.9V

₁

8V

₂

. B.3V

₁

2V

₂

. C.16V

₁

9V

₂

. D.27V

₁

8V

₂

. III. CHƯƠNG 3. HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KG OXYZ 3.1.ƠN TẬP LÝ THUYẾT 3.1.1. Hệ trục tọa độ trong khơng gian Trong khơng gian, xét ba trục tọa độ Ox Oy Oz, , vuơng gĩc với nhau từng đơi một và chung một điểm gốc O. Gọi , ,i j k   là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox Oy Oz, , . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuơng gĩc trong khơng gian. Chú ý: 

i

²





j

²

 k



²

 1

và .   i ji k.  k j . 0. 3.1.2. Tọa độ của vectơ a) Định nghĩa:

^u

^

^  ^{x y z ; ;}  ^{ u}

^

^{ xi}

^

^{ y j}

^

^{ zk}

^b) Tính chất: Cho

a



 ( ; a a a

₁

₂

;

₃

), b



 ( ; b b b

₁

₂

; ),

₃

k 



a



  b



( a

₁

 b a

₁

;

₂

 b a

₂

;

₃

 b

₃

)

 ka  (ka ka

₁

;

₂

;ka

₃

)a b  

1

1

   a b a b

2

2

 

3

3

 0(0; 0; 0),i(1; 0; 0), j(0;1; 0),k(0; 0;1) cùng phương b b  ( 0) akb k(  )

a

a kb      aa a

3

1

2

, ( , , 0)a kb b b b

2

2

1

2

3

b b b

1

2

3



a b



.



 a b

₁

.

₁

 a b

₂

.

₂

 a b

₃

.

₃



a



 b



 a b

_{1 1}

 a b

_{2 2}

 a b

_{3 3}

 0

 a

²

a

₁

²

a

₂

²

a

₃

²



a



 a

₁

²

 a

₂

²

 a

₂

²

 a b a ba b a b a bcos( , ) .  (với a b, 0 

^{1 1}

^{2 2}

^{3 3}

)

2

2

2

2

2

2

. .a b a a a b b b   

1

2

3

1

2

3

3.1.3. Tọa độ của điểm a) Định nghĩa:M x y z( ; ; )OM  x i.y j.z k.(x : hồnh độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý: 

^{M }  ^Oxy  ^{ z  0; M }  ^Oyz  ^{ x  0; M }  ^Oxz  ^{ y  0}

 MOx yz0;MOy xz0;MOz x y0. b) Tính chất: Cho (A x

_A

; y

_A

; z

_A

), B x(

_B

; y

_B

;z

_B

) 

AB  ( x

_B

 x

_A

; y

_B

 y

_A

; z

_B

 z

_A

)



AB  ( x

_B

 x

_A

)

²

 ( y

_B

 y

_A

)

²

 ( z

_B

 z

_A

)

²

x x y y z z

A

B

A

B

A

B

 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:

; ;

M     

 

2 2 2

 

 Toạ độ trọng tâm Gcủa tam giác ABC:

x x x y y y z z z

A

B

C

A

B

C

A

B

C

G        

; ;

3 3 3

 Toạ độ trọng tâmGcủa tứ diện ABCD:

x x x x y y y y z z z z

A

B

C

D

A

B

C

D

A

B

C

C

G           

4 4 4

3.1.4. Tích cĩ hướng của hai vectơ a) Định nghĩa: Trong khơng gian Oxyzcho hai vectơ

a



 ( ; a a a

₁

₂

;

₃

)

,

b



 ( ; ; ) b b b

₁

₂

₃

. Tích cĩ hướng của hai   , được xác định bởi vectơ

a

kí hiệu là a b,  và ,b  

2

3

3

1

1

2

 

      , a a ; a a ; a a ; ;a b a b a b a b a b a b a b

2 3

3 2

3 1

1 3

1 2

2 1

b b b b b b Chú ý: Tích cĩ hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vơ hướng của hai vectơ là một số. b) Tính chất:  [ , ]a b   a; [ , ]a b  b    a b,  b a,        

  i j ,    k ;   j k ,    i ;   k i ,    j

 [ , ]a b  a b. .sin



a b,



(Chương trình nâng cao)  ,a b  cùng phương  [ , ]a b   0 (chứng minh 3 điểm thẳng hàng) c) Ứng dụng của tích cĩ hướng: (Chương trình nâng cao)  Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a b , và

c

 đồng phẳng  [ , ].a b c  0  Diện tích hình bình hành

ABCD

^: S



_ABCD

 AB AD,  Diện tích tam giác ABC : 12 ,S

_

ABC

 AB AC Thể tích khối hộp

ABCDA B C D    

: V

ABCD A B C D

_{. ' ' '}

_'

 [  AB AD AA, ].   Thể tích tứ diện

ABCD

: 1[ , ].V  AB AC AD

ABCD

6Chú ý: – Tích vơ hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuơng gĩc, tính gĩc giữa hai đường thẳng. – Tích cĩ hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – khơng đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.  .a b a b0  

 

a và b cùng phương a b,    , , , .a b c đồng phẳng a b c3.1.5.Phương trình mặt phẳng 1.Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  Vectơ

n



 0

 là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của

n

 vuơng gĩc với mặt phẳng ( ) Chú ý:  Nếu

n

là một VTPT của mặt phẳng ( ) thì k n(k0) cũng là một VTPT của mặt phẳng ( ) .  Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nĩ đi qua và một VTPT của nĩ.  Nếu u v , cĩ giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( ) thì n[ , ]u v  là một VTPT của ( ) . 2.Phương trình tổng quát của mặt phẳng  Trong khơng gian Oxyz, mọi mặt phẳng đều cĩ dạng phương trình: AxByCzD vớiA

²

B

²

C

²

0 Nếu mặt phẳng ( ) cĩ phương trình AxByCzD0 thì nĩ cĩ một VTPT là ( ; ; )n A B C Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M

₀

(x

₀

;y z

₀

;

₀

) và nhận vectơ n A B C( ; ; ) khác

0

 là VTPT là: ( ) ( ) ( ) 0A xx B yy C zz  .

0

0

0

 Các trường hợp riêng Xét phương trình mặt phẳng ( ) : AxByCzD0 với A

²

B

²

C

²

0 Nếu

D  0

thì mặt phẳng ( ) đi qua gốc tọa độ

O

.  Nếu A0,B0,C0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục

Ox

.  Nếu A0,B0,C0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Oy.  Nếu A0,B0,C0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Oz.  Nếu AB0,C0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với



^Oxy



^.  Nếu AC 0,B0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với



^Oxz



^.  Nếu BC 0,A0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với



^Oyz



^. Chú ý:  Nếu trong phương trình ( ) khơng chứa ẩn nào thì ( ) song song hoặc chứa trục tương ứng.  Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

 

^{: x y z 1} . Ở đây ( ) cắt các trục tọa độ tại các abc điểm



^{a; 0; 0}



^,



^{0; ; 0b}



^,



^{0; 0;c}



^{với abc0.} 3.Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.  Trong khơng gian Oxyz, cho điểm M

₀

(x ;

₀

y z

₀

;

₀

) và mặt phẳng

 

^{ :AxByCzD0}Khi đĩ khoảng cách từ điểm M

₀

đến mặt phẳng ( ) được tính:   | |   ( , ( )) Ax By Cz Dd M

0

2

2

2

A B C4.Gĩc giữa hai mặt phẳng Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

 

 :A x

1

B y

1

C z

1

D

1

0 và

 

 :A x

2

B y

2

C z

2

D

2

0.Gĩc giữa

 

^{ và}

 

^ bằng hoặc bù với gĩc giữa hai VTPT

n n

 

_

,

_

. Tức là:  

n n A A B B C C

.

 





   

2

¹

2

²

2

¹

²

2

¹

²

2

2

   

    

cos , cos ,

n n

n n A B C A B C

. .

   

1

1

1

2

2

2

3.2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.2.1. HỆ TỌA ĐỘ KHƠNG GIAN . , b 3j4k, c  i 2j