CÓ THỂ CHỌN ĐƯỢC HAY KHÔNG 24 ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN SAO CHO KHÔ...

Câu 5. Có thể chọn được hay không 24 điểm trong không gian sao cho không có 3 điểm nào thẳng

hàng và 2019 mặt phẳng sao cho mỗi mặt phẳng đi qua ít nhất 3 điểm trong số các điểm trên và ứng với

mỗi bộ 3 điểm trong số đó, luôn tồn tại ít nhất 1 mặt phẳng được chọn chứa 3 điểm đó?

Lời giải:

Giả sử có thể, gọi ( ), ( ), P

P

 , ( P

) là các mặt phẳng được chọn và n n

,

,  , n

là số điểm trong số

24 điểm thuộc các mặt phẳng vừa chọn. Ta có n

   3 i 1, 2,  , 2019 .

Số cách chọn 3 đỉnh bất kỳ từ 24 đỉnh là C

. Mặt khác để chọn 3 đỉnh từ 24 đỉnh, luôn tồn tại một mặt

chứa 3 đỉnh đó, ta có thể có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Chọn 3 đỉnh thuộc mặt ( ) P

: Có

C

cách

1

Trường hợp 2: Chọn 3 đỉnh thuộc mặt ( P

) : Có

2

…..

Trường hợp 2018: Chọn 3 đỉnh thuộc mặt ( P

) : Có

2018

Trường hợp 2019: Chọn 3 đỉnh thuộc mặt ( P

) : Có

2019

Chú ý rằng các trường hợp này không thể có các cách chọn chung vì không thể chọn 3 đỉnh vừa thuộc

mặt ( ) P

lại vừa thuộc mặt ( P

) .

Từ đó ta có:

C  C   C  C  .

2024

1

2

2018

Suy ra n

 5 vì nếu có 1 số trong các số n

lớn hơn 5 thì

2024  C

 C

  C

     1 1 1 C

 2038 ( 2018 số 1).

1

2

2019

Mâu thuẫn.

Giả sử trong các số n n

,

,  , n

có a số bằng 3, b số bằng 4 và c số bằng 5 thì a b c    2019 và

aC  bC  cC  .Suyra 3 b  9 c  5 . Điều này là không thể với b, c là các số nguyên không âm.

2024

Vậy, kh ông thể chọn được theo yêu cầu của đề bài.